Funzione esponenziale

La funzione esponenziale è una funzione che ha la variabile all’esponente.

Definizione

La funzione esponenziale f ha la forma

$$f(x)=a^x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Il simbolo a è un numero qualsiasi, non un’espressione più complicata; si chiama base. L’espressione x si chiama esponente. La base può essere quindi per esempio il numero intero 3, il numero razionale $\frac{1}{2}$ o la costante π.

Perché poniamo condizioni sulla base a? Se a fosse uguale a uno, otterremmo una funzione costante, perché «uno elevato a qualsiasi cosa» fa sempre uno. Vale 1² = 1, 1⁹ = 1, 1⁶⁶⁶ = 1. E poiché la funzione costante non rientra tra le funzioni esponenziali, a deve essere diverso da uno, quindi a ≠ 1.

E perché deve valere a>0? Perché la potenza con esponente reale è definita solo per una base positiva. Per esempio, se per x scegliessimo un mezzo e calcolassimo $a^{\frac{1}{2}}$, sarebbe come calcolare la radice del numero a. E sappiamo che la radice quadrata si può calcolare solo di un numero non negativo.

Se sono soddisfatte le condizioni precedenti, la funzione esponenziale f(x) = a^x ha come dominio i numeri reali.

Funzione quadratica e funzione esponenziale

La funzione esponenziale si confonde facilmente con la funzione quadratica. La funzione quadratica ha la variabile come base e un numero come esponente, mentre la funzione esponenziale ha un numero come base e la variabile all’esponente. Quindi per esempio queste sono funzioni quadratiche: x², x² + 4 oppure x² − x + 1. Queste sono funzioni esponenziali: 2^x, 4^x oppure π^x.

Funzioni esponenziali importanti

Una funzione esponenziale importante è la «funzione esponenziale naturale». È la funzione che ha come base la costante e, cioè il numero di Nepero (detto anche numero di Eulero). Il numero di Nepero è un numero irrazionale, cioè un numero con uno sviluppo decimale infinito e non periodico, che non si può calcolare esattamente. Il suo valore approssimato è e = 2,718 281.828… Questa funzione si indica spesso con exp.

Un’altra funzione esponenziale importante è la funzione esponenziale di base dieci: a = 10.

Aspetto della funzione in base al valore di a

La funzione ha due aspetti fondamentali, che dipendono dal valore della base. Distinguiamo infatti due intervalli: (0; 1) e (1; +∞). Se a appartiene al primo intervallo, cioè è minore di uno, la funzione è decrescente. Se appartiene al secondo, è crescente. Del resto è logico. Prendiamo come esempio $a=\frac{1}{2}$, cioè la funzione $f(x)={\frac{1}{2}}^x$. Che cosa succede se al posto di x sostituiamo in successione due, tre e quattro? Il valore della funzione diminuisce, otteniamo infatti: $f(2)={\frac{1}{2}}^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, poi $f(3)={\frac{1}{2}}^3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$, che è uguale a $\frac{1}{8}$. Per f(4) otteniamo la metà di un ottavo, cioè $\frac{1}{16}$. Otteniamo numeri sempre più piccoli, perché la base è minore di uno. Se moltiplichiamo numeri minori di uno, otteniamo sempre un numero più piccolo.

Al contrario, se a>1, il risultato della moltiplicazione è un numero più grande. Se abbiamo la funzione esponenziale f(x) = 3^x, per i valori due, tre, quattro otteniamo i risultati: f(2) = 3² = 3 · 3 = 9. Per tre: f(3) = 3³ = 3 · 3 · 3 = 27. Poi f(4) = 81. La funzione è quindi crescente. Osserva che anche se la base fosse un qualsiasi altro numero maggiore di uno, la funzione sarebbe comunque crescente.

Perciò dobbiamo distinguere anche due tipi di grafici, a seconda del valore della base a.

Grafici delle funzioni esponenziali

Dal capitolo precedente sappiamo che il grafico deve avere due aspetti fondamentali a seconda del valore della base a. Per prima cosa mostriamo il grafico per i valori di a nell’intervallo (0; 1).

Vediamo che la funzione è decrescente e passa per il punto (0; 1). Non è un caso: dalle proprietà delle potenze sappiamo che qualsiasi numero elevato a zero fa uno. Quindi ${\frac{1}{2}}^0=1,5^0=1,{33}^0=1$ e così via. Perciò ogni curva di una funzione esponenziale deve passare per questo punto. Anche la curva che corrisponde a una funzione esponenziale con a>1, come si vede nella figura seguente:

Proprietà delle funzioni esponenziali

• Il dominio è l’insieme di tutti i numeri reali
• L’insieme immagine è l’intervallo (0; +∞)
• È limitata inferiormente, a^x>0. Non è limitata superiormente.
• Non ha né massimo né minimo.

La monotonia della funzione dipende poi dal valore di a. Se a appartiene all’intervallo (0; 1), la funzione è decrescente. Se appartiene all’intervallo (1; +∞), è crescente.

Crescita esponenziale

L’espressione «crescita esponenziale» si usa abbastanza spesso anche nel linguaggio comune. Di solito con essa si vuole dire che qualcosa sale velocissimo. Un caso classico è la divisione dei batteri: un batterio si riproduce sempre dividendosi in due. Questo modo di riprodursi si può descrivere con la funzione esponenziale f(x) = 2^x. Il valore della funzione ci dà il numero di batteri dopo x cicli di divisione.

Esempio: all’inizio (zero divisioni, x = 0) abbiamo un batterio, cioè 2⁰ = 1. Dopo il primo ciclo di riproduzione abbiamo 2¹ = 2, cioè due batteri. Torna: un batterio si divide in due. Ora entrambi questi batteri si dividono, cioè abbiamo 2² = 4 quattro batteri. Di nuovo ciascuno si divide, quindi dopo il terzo ciclo abbiamo già 2³ = 8 batteri. E così via.

Questa riproduzione, anche se non sembra, è velocissima. Quanti batteri abbiamo dopo il decimo ciclo? 2¹⁰ = 1024. È già un bel numero. Dopo venti cicli abbiamo: 2²⁰ = 1.048.576. Dopo trenta cicli superiamo già il miliardo.

Questa velocità è molto maggiore che nel caso di una normale funzione quadratica. Se confrontiamo la velocità della funzione esponenziale f(x) = 2^x e della funzione quadratica g(x) = x², la funzione esponenziale vince nettamente. Conosciamo già il valore della funzione f nel punto x = 20, mentre il valore della funzione quadratica g nel punto x = 20 è uguale a: g(20) = 20² = 400. È molte volte meno di 1.048.576.