Função exponencial

Função exponencial é uma função que tem a variável no lugar do expoente.

Definição

A função exponencial f tem a forma

$$f(x)=a^x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

O símbolo a é um número qualquer, não é nenhuma expressão mais complicada; chama-se base. A expressão x chama-se expoente. A base pode ser, portanto, por exemplo, o número inteiro 3, o número racional $\frac{1}{2}$ ou a constante π.

Por que impomos condições à base a? Se a fosse igual a um, obteríamos uma função constante, porque “um elevado a qualquer coisa” é sempre um. Vale que 1² = 1, 1⁹ = 1, 1⁶⁶⁶ = 1. E, como não incluímos a função constante entre as exponenciais, a precisa ser diferente de um, por isso a ≠ 1.

E por que precisa valer a>0? Porque a potência com expoente real é definida apenas para base positiva. Por exemplo, se escolhêssemos para x um meio, calcular $a^{\frac{1}{2}}$ é o mesmo que calcular a raiz do número a. E vale que só podemos extrair a raiz de um número não negativo.

Se cumprimos as condições anteriores, a função exponencial f(x) = a^x tem como domínio os números reais.

Função quadrática vs. função exponencial

A função exponencial pode ser facilmente confundida com a função quadrática. Vale que a função quadrática tem a variável como base e um número como expoente, enquanto a função exponencial tem um número como base e a variável no expoente. Assim, são funções quadráticas, por exemplo: x², x² + 4 ou x² − x + 1. São funções exponenciais: 2^x, 4^x ou π^x.

Funções exponenciais importantes

Uma função exponencial significativa é a “função exponencial natural”. É a função que tem como base a constante e, isto é, o número de Euler. O número de Euler é um número irracional, isto é, um número com representação decimal infinita e não periódica; não pode ser calculado exatamente. Seu valor aproximado é e = 2,718 281.828… Essa função costuma ser indicada como exp.

Outra função exponencial importante é a “função exponencial decimal”, que tem base igual a dez: a = 10.

Forma da função conforme o valor de a

A função tem duas formas básicas, que diferem conforme o valor da base. Distinguimos, de fato, dois intervalos: ]0, 1[ e ]1, +∞[. Se a pertence ao primeiro intervalo, isto é, é menor que um, a função é decrescente. Se pertence ao segundo intervalo, é crescente. Isso tem, claro, sua lógica. Como exemplo, tomemos $a=\frac{1}{2}$, isto é, a função $f(x)={\frac{1}{2}}^x$. O que acontece se substituirmos x, um após o outro, por dois, três e quatro? O valor da função vai diminuindo; obtemos: $f(2)={\frac{1}{2}}^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, depois $f(3)={\frac{1}{2}}^3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$, que é igual a $\frac{1}{8}$. Para f(4) obtemos a metade de um oitavo, isto é, $\frac{1}{16}$. Obtemos números cada vez menores porque a base é menor que um. Se multiplicamos números menores que um, obtemos sempre um número menor.

Ao contrário, se a>1, o resultado da multiplicação será um número maior. Se temos a função exponencial f(x) = 3^x, obtemos para os valores dois, três, quatro os resultados: f(2) = 3² = 3 · 3 = 9. Para o três: f(3) = 3³ = 3 · 3 · 3 = 27. Depois f(4) = 81. A função é, portanto, crescente. Observe que, mesmo que a base fosse qualquer outro número maior que um, a função continuaria crescente.

Por isso precisamos distinguir também dois tipos de gráficos, conforme o valor da base a.

Gráficos de funções exponenciais

Do capítulo anterior sabemos que o gráfico precisa ter duas formas básicas, dependendo do valor da base a. Primeiro vamos mostrar o gráfico para valores de a do intervalo ]0, 1[.

Vemos que a função é decrescente e passa pelo ponto (0, 1). Isso não é por acaso — pelas propriedades das potências, sabemos que qualquer número elevado a zero é um. Ou seja, ${\frac{1}{2}}^0=1,5^0=1,{33}^0=1$ etc. Por isso toda curva de função exponencial precisa passar por esse ponto. Também a curva que corresponde à função exponencial com a>1, como se vê na figura seguinte:

Propriedades das funções exponenciais

• O domínio é o conjunto de todos os números reais
• O conjunto imagem é o intervalo ]0, +∞[
• É limitada inferiormente, a^x>0. Não é limitada superiormente.
• Não tem máximo nem mínimo.

A monotonicidade da função depende do valor de a. Se a pertence ao intervalo ]0, 1[, a função é decrescente. Se pertence ao intervalo ]1, +∞[, é crescente.

Crescimento exponencial

A expressão “crescimento exponencial” é usada com bastante frequência também na linguagem do dia a dia. Em geral, a pessoa quer dizer com isso que algo sobe de forma muito rápida. Um caso clássico pode ser a divisão de bactérias. Imagine uma bactéria malvada que começa a se multiplicar de modo que sempre se divide em duas. Podemos descrever esse modo de multiplicação pela função exponencial f(x) = 2^x. O valor da função nos indicará o número de bactérias depois de x rodadas de divisão.

Exemplo: no começo (zero divisões, x = 0) temos uma bactéria, ou seja, 2⁰ = 1. Depois da primeira rodada de multiplicação temos 2¹ = 2, isto é, duas bactérias. Isso confere: uma bactéria se divide em duas. Agora as duas bactérias se dividem, isto é, temos 2² = 4 quatro bactérias. De novo cada uma se divide, então depois da terceira rodada já temos 2³ = 8 bactérias. E assim por diante.

Essa multiplicação, embora não pareça, é extremamente rápida. Quantas bactérias temos depois da décima rodada? 2¹⁰ = 1024. Isso já é um número considerável. Depois de vinte rodadas temos: 2²⁰ = 1.048.576. Depois de trinta rodadas já passamos de um bilhão.

Essa velocidade é muito maior que no caso de uma simples função quadrática. Se compararmos a velocidade da função exponencial f(x) = 2^x e da função quadrática g(x) = x², a função exponencial vence com folga. Já conhecemos o valor da função f no ponto x = 20, e o valor da função quadrática g no ponto x = 20 é igual a: g(20) = 20² = 400. Isso é muitas vezes menos que 1.048.576.