Exponentiële functie

Een exponentiële functie is een functie die de onbekende op de plaats van de exponent heeft.

Definitie

Een exponentiële functie f heeft de vorm

$$f(x)=a^x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Het symbool a is een willekeurig getal, geen ingewikkelder uitdrukking; het heet het grondtal. De uitdrukking x heet de exponent. Het grondtal kan dus bijvoorbeeld het gehele getal 3 zijn, het rationale getal $\frac{1}{2}$ of de constante π.

Waarom stellen we voorwaarden aan het grondtal a? Als a gelijk was aan één, zouden we een constante functie krijgen, want “één tot de macht wat dan ook” is altijd één. Er geldt dat 1² = 1, 1⁹ = 1, 1⁶⁶⁶ = 1. En omdat we de constante functie niet tot de exponentiële functies rekenen, moet a ongelijk zijn aan één, dus a ≠ 1.

En waarom moet gelden a>0? Omdat een macht met een reële exponent alleen is gedefinieerd voor een positief grondtal. Als we bijvoorbeeld voor x een half zouden kiezen, dan is het berekenen van $a^{\frac{1}{2}}$ hetzelfde als het berekenen van de wortel uit het getal a. En er geldt dat we alleen uit een niet-negatief getal de wortel kunnen trekken.

Als aan de voorgaande voorwaarden is voldaan, heeft de exponentiële functie f(x) = a^x als domein de reële getallen.

Kwadratische versus exponentiële functie

Een exponentiële functie kun je gemakkelijk verwarren met een kwadratische functie. Een kwadratische functie heeft de onbekende als grondtal en een getal als exponent, terwijl een exponentiële functie een getal als grondtal heeft en de onbekende in de exponent. Kwadratische functies zijn bijvoorbeeld deze functies: x², x² + 4 of x² − x + 1. Exponentiële functies zijn de functies: 2^x, 4^x of π^x.

Belangrijke exponentiële functies

Een belangrijke exponentiële functie is de “natuurlijke exponentiële functie”. Dat is de functie die als grondtal de constante e heeft, dus het getal van Euler. Het getal van Euler is een irrationaal getal, dus een getal met een oneindige, niet-repeterende decimale ontwikkeling, dat niet exact kan worden uitgerekend. De benaderde waarde ervan is e = 2,718 281 828… Deze functie wordt vaak genoteerd als exp.

Een andere belangrijke exponentiële functie is de “tientallige exponentiële functie”, die als grondtal tien heeft: a = 10.

De vorm van de functie in afhankelijkheid van de waarde van a

De functie heeft twee basisvormen, die verschillen naargelang de waarde van het grondtal. We onderscheiden namelijk twee intervallen: ⟨0, 1⟩ en ⟨1, → ⟩. Als a in het eerste interval ligt, dus kleiner is dan één, is de functie namelijk strikt dalend. Als a in het tweede interval ligt, is ze strikt stijgend. Daar zit natuurlijk logica in. Neem als voorbeeld $a=\frac{1}{2}$, dus de functie $f(x)={\frac{1}{2}}^x$. Wat gebeurt er als we voor x achtereenvolgens een twee, een drie en een vier invullen? De waarde van de functie wordt steeds kleiner, we krijgen namelijk: $f(2)={\frac{1}{2}}^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, verder $f(3)={\frac{1}{2}}^3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$, en dat is gelijk aan $\frac{1}{8}$. Voor f(4) krijgen we de helft van een achtste, dus $\frac{1}{16}$. We krijgen steeds kleinere getallen, omdat het grondtal kleiner is dan één. Als we getallen vermenigvuldigen die kleiner zijn dan één, krijgen we altijd een kleiner getal.

Omgekeerd, als a>1, is de uitkomst van het vermenigvuldigen een groter getal. Als we de exponentiële functie f(x) = 3^x hebben, krijgen we voor de waarden twee, drie, vier de uitkomsten: f(2) = 3² = 3 · 3 = 9. Voor de drie: f(3) = 3³ = 3 · 3 · 3 = 27. Verder f(4) = 81. De functie is dus strikt stijgend. Merk op dat ook als het grondtal elk ander getal groter dan één was, de functie nog steeds strikt stijgend zou zijn.

Daarom moeten we ook twee soorten grafieken onderscheiden naargelang de waarde van het grondtal a.

Grafieken van exponentiële functies

Uit het vorige hoofdstuk weten we dat de grafiek twee basisvormen moet hebben, afhankelijk van de waarde van het grondtal a. Eerst laten we de grafiek zien voor waarden van a uit het interval ⟨0, 1⟩.

We zien dat de functie strikt dalend is en door het punt (0, 1) gaat. Dat is geen toeval — uit de eigenschappen van machten weten we dat alles tot de macht nul één is. Dus ${\frac{1}{2}}^0=1,5^0=1,{33}^0=1$ enzovoort. Daarom moet ook elke kromme van een exponentiële functie door dit punt gaan. Ook de kromme die bij de exponentiële functie hoort voor a>1, zoals je kunt zien in de volgende afbeelding:

Eigenschappen van exponentiële functies

• Het domein is de verzameling van alle reële getallen
• Het bereik is het interval ⟨0, → ⟩
• Ze is naar beneden begrensd, a^x>0. Naar boven niet begrensd.
• Ze heeft geen maximum en geen minimum.

De monotonie van de functie hangt dan af van de waarde van a. Als a in het interval ⟨0, 1⟩ ligt, is de functie strikt dalend. Als ze in het interval ⟨1, → ⟩ ligt, is ze strikt stijgend.

Exponentiële groei

Het begrip “exponentiële groei” wordt vrij vaak ook in de dagelijkse spreektaal gebruikt. Meestal bedoelt iemand daarmee dat iets verschrikkelijk snel stijgt. Een klassiek geval is de deling van bacteriën, zoals we die kennen uit de tekenfilmserie “Er was eens… het leven”. Daarin verscheen af en toe een kwaadaardige bacterie, die zich begon te vermenigvuldigen door zich telkens in tweeën te splitsen. Deze manier van vermenigvuldigen kunnen we beschrijven met de exponentiële functie f(x) = 2^x. De functiewaarde geeft ons het aantal bacteriën na x delingsronden.

Voorbeeld: aan het begin (nul keer gesplitst, x = 0) hebben we één bacterie, dus 2⁰ = 1. Na de eerste ronde van vermenigvuldiging hebben we 2¹ = 2, dus twee bacteriën. Dat klopt, één bacterie splitst zich in twee. Nu splitsen beide bacteriën zich, dus we hebben 2² = 4 vier bacteriën. Weer splitst elke bacterie zich, dus na de derde ronde hebben we al 2³ = 8 bacteriën. En zo verder.

Deze vermenigvuldiging is, hoewel het niet zo lijkt, verschrikkelijk snel. Hoeveel bacteriën hebben we na de tiende ronde? 2¹⁰ = 1024. Dat is al een mooi getal. Na twintig rondes hebben we: 2²⁰ = 1 048 576. Na dertig rondes komen we al boven de miljard.

Deze snelheid is veel groter dan bij een gewone kwadratische functie. Als we de snelheid van de exponentiële functie f(x) = 2^x en de kwadratische functie g(x) = x² vergelijken, wint de exponentiële functie duidelijk. We kennen de waarde van de functie f in het punt x = 20 al, terwijl de waarde van de kwadratische functie g in het punt x = 20 gelijk is aan: g(20) = 20² = 400. Dat is vele malen minder dan 1 048 576.