Εκθετική συνάρτηση

Εκθετική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που έχει τον άγνωστο στη θέση του εκθέτη.

Ορισμός

Η εκθετική συνάρτηση f έχει τη μορφή

$$f(x)=a^x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Το σύμβολο a είναι ένας οποιοσδήποτε αριθμός, όχι κάποια πιο σύνθετη παράσταση· ονομάζεται βάση. Η παράσταση x ονομάζεται εκθέτης. Βάση μπορεί να είναι για παράδειγμα ο ακέραιος αριθμός 3, ο ρητός αριθμός $\frac{1}{2}$ ή η σταθερά π.

Γιατί βάζουμε προϋποθέσεις στη βάση a; Αν το a ήταν ίσο με ένα, θα παίρναμε σταθερή συνάρτηση, επειδή το «ένα υψωμένο σε οτιδήποτε» είναι πάντα ένα. Ισχύει ότι 1² = 1, 1⁹ = 1, 1⁶⁶⁶ = 1. Και επειδή τη σταθερή συνάρτηση δεν την κατατάσσουμε στις εκθετικές, το a πρέπει να είναι διαφορετικό από το ένα, άρα a ≠ 1.

Και γιατί πρέπει να ισχύει a>0; Επειδή η δύναμη με πραγματικό εκθέτη ορίζεται μόνο για θετική βάση. Για παράδειγμα, αν στη θέση του x βάλουμε το ένα δεύτερο, τότε ο υπολογισμός του $a^{\frac{1}{2}}$ είναι το ίδιο με τον υπολογισμό της τετραγωνικής ρίζας του αριθμού a. Ωστόσο, ρίζα μπορούμε να πάρουμε μόνο από μη αρνητικό αριθμό.

Αν ικανοποιούνται οι προηγούμενες προϋποθέσεις, η εκθετική συνάρτηση f(x) = a^x έχει πεδίο ορισμού τους πραγματικούς αριθμούς.

Δευτεροβάθμια και εκθετική συνάρτηση

Την εκθετική συνάρτηση μπορείς εύκολα να τη μπερδέψεις με τη δευτεροβάθμια συνάρτηση. Ισχύει ότι η δευτεροβάθμια συνάρτηση έχει τον άγνωστο ως βάση και έναν αριθμό ως εκθέτη, ενώ η εκθετική συνάρτηση έχει έναν αριθμό ως βάση και τον άγνωστο στον εκθέτη. Δευτεροβάθμιες συναρτήσεις είναι για παράδειγμα οι x², x² + 4 ή x² − x + 1. Εκθετικές συναρτήσεις είναι οι 2^x, 4^x ή π^x.

Σημαντικές εκθετικές συναρτήσεις

Μια σημαντική εκθετική συνάρτηση είναι η «φυσική εκθετική συνάρτηση». Είναι η συνάρτηση που έχει ως βάση τη σταθερά e, δηλαδή τον αριθμό του Euler. Ο αριθμός του Euler είναι άρρητος αριθμός, δηλαδή αριθμός με άπειρα μη περιοδικά δεκαδικά ψηφία, και δεν μπορεί να υπολογιστεί ακριβώς. Η προσεγγιστική τιμή του είναι e = 2,718281828… Αυτή η συνάρτηση συχνά συμβολίζεται exp.

Μια άλλη σημαντική εκθετική συνάρτηση είναι η «δεκαδική εκθετική συνάρτηση», που έχει βάση ίση με δέκα: a = 10.

Η μορφή της συνάρτησης ανάλογα με την τιμή του a

Η συνάρτηση έχει δύο βασικές μορφές, που διαφέρουν ανάλογα με την τιμή της βάσης. Ξεχωρίζουμε δύο διαστήματα: (0, 1) και (1, +∞). Αν το a ανήκει στο πρώτο διάστημα, δηλαδή είναι μικρότερο από ένα, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. Αν ανήκει στο δεύτερο, τότε είναι γνησίως αύξουσα. Αυτό φυσικά έχει λογική. Ας πάρουμε για παράδειγμα $a=\frac{1}{2}$, δηλαδή τη συνάρτηση $f(x)={\frac{1}{2}}^x$. Τι θα γίνει, αν αντικαταστήσουμε το x διαδοχικά με το δύο, το τρία και το τέσσερα; Η τιμή της συνάρτησης θα μειώνεται σταδιακά, γιατί παίρνουμε: $f(2)={\frac{1}{2}}^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, στη συνέχεια $f(3)={\frac{1}{2}}^3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$, που είναι ίσο με $\frac{1}{8}$. Για το f(4) παίρνουμε το μισό του ενός όγδοου, δηλαδή $\frac{1}{16}$. Παίρνουμε όλο και μικρότερους αριθμούς, επειδή η βάση είναι μικρότερη από ένα. Όταν πολλαπλασιάζουμε αριθμούς μικρότερους από ένα, παίρνουμε πάντα μικρότερο αριθμό.

Αντίθετα, αν a>1, τότε ο πολλαπλασιασμός δίνει μεγαλύτερο αριθμό. Αν έχουμε την εκθετική συνάρτηση f(x) = 3^x, παίρνουμε για τις τιμές δύο, τρία, τέσσερα τα αποτελέσματα: f(2) = 3² = 3 · 3 = 9. Για το τρία: f(3) = 3³ = 3 · 3 · 3 = 27. Επίσης f(4) = 81. Η συνάρτηση είναι επομένως γνησίως αύξουσα. Πρόσεξε ότι ακόμη κι αν η βάση ήταν οποιοσδήποτε άλλος αριθμός μεγαλύτερος από ένα, η συνάρτηση θα ήταν πάλι γνησίως αύξουσα.

Γι' αυτό πρέπει να ξεχωρίζουμε και δύο είδη γραφικών παραστάσεων, ανάλογα με την τιμή της βάσης a.

Γραφικές παραστάσεις εκθετικών συναρτήσεων

Από το προηγούμενο κεφάλαιο ξέρουμε ότι η γραφική παράσταση πρέπει να έχει δύο βασικές μορφές ανάλογα με την τιμή της βάσης a. Πρώτα θα δούμε τη γραφική παράσταση για τιμές του a από το διάστημα (0, 1).

Βλέπουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και περνά από το σημείο (0, 1). Αυτό δεν είναι τυχαίο – από τις ιδιότητες των δυνάμεων ξέρουμε ότι κάθε αριθμός υψωμένος στη μηδενική δύναμη είναι ίσος με ένα. Δηλαδή ${\frac{1}{2}}^0=1,5^0=1,{33}^0=1$ κ.τ.λ. Γι' αυτό και κάθε καμπύλη εκθετικής συνάρτησης πρέπει να περνά από αυτό το σημείο. Ακόμη και η καμπύλη που αντιστοιχεί σε εκθετική συνάρτηση με a>1, όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα:

Ιδιότητες των εκθετικών συναρτήσεων

• Πεδίο ορισμού είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών
• Σύνολο τιμών είναι το διάστημα (0, +∞)
• Είναι φραγμένη κάτω, a^x>0. Δεν είναι φραγμένη άνω.
• Δεν έχει μέγιστο ούτε ελάχιστο.

Η μονοτονία της συνάρτησης εξαρτάται από την τιμή του a. Αν το a ανήκει στο διάστημα (0, 1), τότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. Αν ανήκει στο διάστημα (1, +∞), τότε είναι γνησίως αύξουσα.

Εκθετική αύξηση

Ο όρος «εκθετική αύξηση» χρησιμοποιείται αρκετά συχνά και στην καθημερινή γλώσσα. Συνήθως εννοούμε ότι κάτι ανεβαίνει τρομερά γρήγορα. Κλασικό παράδειγμα είναι ο πολλαπλασιασμός των βακτηρίων, που κάθε φορά διχοτομούνται. Αυτόν τον τρόπο πολλαπλασιασμού μπορούμε να τον περιγράψουμε με την εκθετική συνάρτηση f(x) = 2^x. Η τιμή της συνάρτησης θα μας δίνει τον αριθμό των βακτηρίων μετά από x γύρους διαίρεσης.

Παράδειγμα: στην αρχή (μηδενικός αριθμός διχοτομήσεων, x = 0) έχουμε ένα βακτήριο, δηλαδή 2⁰ = 1. Μετά τον πρώτο γύρο πολλαπλασιασμού έχουμε 2¹ = 2, δηλαδή δύο βακτήρια. Βγαίνει σωστά, ένα βακτήριο διχοτομείται σε δύο. Τώρα διχοτομούνται και τα δύο, δηλαδή έχουμε 2² = 4 τέσσερα βακτήρια. Και πάλι διχοτομείται το καθένα, οπότε μετά τον τρίτο γύρο έχουμε ήδη 2³ = 8 βακτήρια. Και ούτω καθεξής.

Αυτός ο πολλαπλασιασμός, αν και δεν φαίνεται, είναι τρομερά γρήγορος. Πόσα βακτήρια έχουμε μετά τον δέκατο γύρο; 2¹⁰ = 1024. Αυτός είναι ήδη ένας ωραίος αριθμός. Μετά από είκοσι γύρους έχουμε: 2²⁰ = 1.048.576. Μετά από τριάντα γύρους ξεπερνάμε ήδη το δισεκατομμύριο.

Αυτή η ταχύτητα είναι πολύ μεγαλύτερη από την ταχύτητα μιας συνηθισμένης δευτεροβάθμιας συνάρτησης. Αν συγκρίνουμε την ταχύτητα της εκθετικής συνάρτησης f(x) = 2^x και της δευτεροβάθμιας συνάρτησης g(x) = x², η εκθετική συνάρτηση νικά με σαφήνεια. Ξέρουμε ήδη την τιμή της συνάρτησης f στο σημείο x = 20, ενώ η τιμή της δευτεροβάθμιας συνάρτησης g στο σημείο x = 20 είναι ίση με: g(20) = 20² = 400. Αυτό είναι πολλές φορές λιγότερο από 1.048.576.