Fonction exponentielle

Une fonction exponentielle est une fonction dont la variable se trouve à la place de l’exposant.

Définition

La fonction exponentielle f a la forme

$$f(x)=a^x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Le symbole a est un nombre quelconque, ce n’est pas une expression plus compliquée ; on l’appelle la base. L’expression x s’appelle l’exposant. La base peut donc être par exemple l’entier relatif 3, le nombre rationnel $\frac{1}{2}$ ou la constante π.

Pourquoi poser des conditions sur la base a ? Si a valait un, on obtiendrait une fonction constante, car un nombre élevé à n’importe quelle puissance vaut toujours un : on a bien 1² = 1, 1⁹ = 1, 1⁶⁶⁶ = 1. Et comme une fonction constante n’entre pas dans les fonctions exponentielles, il faut que a soit différent de un, donc a ≠ 1.

Pourquoi faut-il a>0 ? Parce qu’une puissance à exposant réel n’est définie que pour une base strictement positive. Si par exemple on prend x égal à un demi et qu’on calcule $a^{\frac{1}{2}}$, cela revient à calculer la racine carrée de a. Or on ne peut extraire une racine que d’un nombre positif ou nul.

Si les conditions précédentes sont remplies, la fonction exponentielle f(x) = a^x a pour ensemble de définition l’ensemble des nombres réels.

Fonction quadratique et fonction exponentielle

On peut facilement confondre la fonction exponentielle avec la fonction quadratique. Dans une fonction quadratique, la variable est la base et l’exposant est un nombre, alors que dans une fonction exponentielle la base est un nombre et la variable se trouve dans l’exposant. Ainsi les fonctions quadratiques sont par exemple x², x² + 4 ou x² − x + 1, et les fonctions exponentielles sont 2^x, 4^x ou π^x.

Fonctions exponentielles importantes

Une fonction exponentielle importante est la « fonction exponentielle naturelle ». C’est la fonction dont la base est la constante e, c’est-à-dire le nombre d’Euler. Le nombre d’Euler est un nombre irrationnel, c’est-à-dire un nombre dont le développement décimal est infini et non périodique ; on ne peut pas le calculer exactement. Sa valeur approchée est e = 2,718 281 828… Cette fonction se note souvent exp.

Une autre fonction exponentielle importante est la « fonction exponentielle décimale », dont la base vaut dix : a = 10.

Allure de la fonction selon la valeur de a

La fonction a deux formes principales, selon la valeur de la base. On distingue en effet deux intervalles : ]0 ; 1[ et ]1 ; +∞[. Si a appartient au premier, c’est-à-dire s’il est inférieur à un, la fonction est strictement décroissante. S’il appartient au second, elle est strictement croissante. Cela a bien sûr une logique. Prenons par exemple $a=\frac{1}{2}$, donc la fonction $f(x)={\frac{1}{2}}^x$. Que se passe-t-il quand on remplace x successivement par deux, trois et quatre ? La valeur de la fonction diminue progressivement : on obtient $f(2)={\frac{1}{2}}^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, puis $f(3)={\frac{1}{2}}^3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$, ce qui vaut $\frac{1}{8}$. Pour f(4), on obtient la moitié d’un huitième, soit $\frac{1}{16}$. Nous obtenons des nombres de plus en plus petits, car la base est inférieure à un. Quand on multiplie des nombres inférieurs à un, le résultat est toujours plus petit.

En revanche, si a>1, la multiplication donne un nombre de plus en plus grand. Pour la fonction exponentielle f(x) = 3^x, on obtient pour deux, trois et quatre : f(2) = 3² = 3 · 3 = 9. Pour trois, f(3) = 3³ = 3 · 3 · 3 = 27. Puis f(4) = 81. La fonction est donc strictement croissante. Remarque que même si la base est un autre nombre quelconque supérieur à un, la fonction reste strictement croissante.

C’est pourquoi il faut aussi distinguer deux types de courbes selon la valeur de la base a.

Courbes représentatives des fonctions exponentielles

Le paragraphe précédent nous apprend que la courbe a deux formes principales selon la valeur de la base a. Commençons par les valeurs de a dans l’intervalle ]0 ; 1[.

On voit que la fonction est strictement décroissante et qu’elle passe par le point (0 ; 1). Ce n’est pas un hasard : d’après les propriétés des puissances, tout nombre élevé à la puissance zéro vaut un. Ainsi ${\frac{1}{2}}^0=1,5^0=1,{33}^0=1$, et ainsi de suite. C’est pourquoi toute courbe exponentielle doit passer par ce point. C’est aussi le cas de la courbe qui correspond à une fonction exponentielle avec a>1, comme on le voit sur la figure suivante :

Propriétés des fonctions exponentielles

• L’ensemble de définition est l’ensemble de tous les nombres réels
• L’ensemble image est l’intervalle ]0 ; +∞[
• Elle est minorée, car a^x>0. Elle n’est pas majorée.
• Elle n’a ni maximum ni minimum.

La monotonie de la fonction dépend ensuite de la valeur de a. Si a appartient à l’intervalle ]0 ; 1[, la fonction est strictement décroissante. S’il appartient à ]1 ; +∞[, elle est strictement croissante.

Croissance exponentielle

L’expression « croissance exponentielle » est assez courante dans le langage courant. Elle veut généralement dire que quelque chose monte très vite. Un cas classique est la division des bactéries : une bactérie se divise à chaque fois en deux. Ce mode de multiplication peut être décrit par la fonction exponentielle f(x) = 2^x. La valeur de la fonction indique le nombre de bactéries après x cycles de division.

Exemple : au début (zéro division, x = 0) il y a une bactérie, donc 2⁰ = 1. Après le premier cycle de multiplication, on a 2¹ = 2, c’est-à-dire deux bactéries. Chacune de ces deux bactéries se divise, donc on a 2² = 4 bactéries. Chacune se divise encore, et après le troisième cycle on a 2³ = 8 bactéries. Et ainsi de suite.

Cette multiplication, bien qu’elle n’en ait pas l’air, est extrêmement rapide. Combien de bactéries a-t-on après le dixième cycle ? 2¹⁰ = 1024. Cela commence à être un joli nombre. Après vingt cycles : 2²⁰ = 1 048 576. Après trente cycles, on dépasse déjà le milliard.

Cette vitesse est bien supérieure à celle d’une simple fonction quadratique. Si l’on compare la vitesse de la fonction exponentielle f(x) = 2^x et celle de la fonction quadratique g(x) = x², la fonction exponentielle gagne sans ambiguïté. Nous connaissons déjà la valeur de f en x = 20, alors que la valeur de la fonction quadratique g en x = 20 vaut g(20) = 20² = 400. C’est bien moins que 1 048 576.