Eksponentialfunksjon

En eksponentialfunksjon er en funksjon som har den ukjente i eksponenten.

Definisjon

En eksponentialfunksjon f har formen

$$f(x)=a^x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Symbolet a er et vilkårlig tall, det er ikke noe mer sammensatt uttrykk, og det kalles grunntallet. Uttrykket x kalles eksponenten. Grunntallet kan altså for eksempel være det hele tallet 3, det rasjonale tallet $\frac{1}{2}$ eller konstanten π.

Hvorfor setter vi betingelser på grunntallet a? Hvis a var lik én, ville vi fått en konstant funksjon, for «én opphøyd i hva som helst» er alltid én. Det gjelder at 1² = 1, 1⁹ = 1, 1⁶⁶⁶ = 1. Og siden vi ikke regner den konstante funksjonen med blant eksponentialfunksjonene, må a være forskjellig fra én, derfor a ≠ 1.

Og hvorfor må a>0 gjelde? Fordi en potens med reell eksponent bare er definert for positivt grunntall. Hvis vi for eksempel valgte en halv for x og regnet ut $a^{\frac{1}{2}}$, er det det samme som å regne ut kvadratroten av tallet a. Og vi kan bare ta kvadratroten av et ikke-negativt tall.

Hvis vi oppfyller de foregående betingelsene, har eksponentialfunksjonen f(x) = a^x de reelle tallene som definisjonsmengde.

Andregradsfunksjon eller eksponentialfunksjon

Du kan lett forveksle en eksponentialfunksjon med en andregradsfunksjon. I en andregradsfunksjon er den ukjente grunntallet og eksponenten er et tall, mens det i en eksponentialfunksjon er motsatt: grunntallet er et tall og den ukjente står i eksponenten. Andregradsfunksjoner er for eksempel disse funksjonene: x², x² + 4 eller x² − x + 1. Eksponentialfunksjoner er funksjonene: 2^x, 4^x eller π^x.

Viktige eksponentialfunksjoner

En viktig eksponentialfunksjon er den «naturlige eksponentialfunksjonen». Det er funksjonen som har konstanten e som grunntall, altså Eulers tall. Eulers tall er et irrasjonalt tall, altså et tall med en uendelig, ikke-periodisk desimalutvikling, og det kan ikke regnes ut nøyaktig. Den omtrentlige verdien er e = 2,718 281 828… Denne funksjonen skrives ofte exp.

En annen viktig eksponentialfunksjon er «eksponentialfunksjonen med grunntall ti», altså a = 10.

Hvordan funksjonen ser ut avhengig av verdien av a

Funksjonen har to grunnleggende former, og de skiller seg etter verdien av grunntallet. Vi skiller nemlig mellom to intervaller: ⟨0, 1⟩ og ⟨1, → ⟩. Hvis a ligger i det første intervallet, altså er mindre enn én, er funksjonen strengt avtagende. Hvis den ligger i det andre intervallet, er den strengt voksende. Det er selvfølgelig logisk. La oss som eksempel ta $a=\frac{1}{2}$, altså funksjonen $f(x)={\frac{1}{2}}^x$. Hva skjer hvis vi setter inn to, tre og fire for x etter tur? Funksjonsverdien avtar gradvis, vi får nemlig: $f(2)={\frac{1}{2}}^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, videre $f(3)={\frac{1}{2}}^3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$, som er lik $\frac{1}{8}$. For f(4) får vi halvparten av en åttedel, altså $\frac{1}{16}$. Vi får stadig mindre tall, fordi grunntallet er mindre enn én. Når vi ganger tall som er mindre enn én, får vi alltid et mindre tall.

Hvis derimot a>1, blir resultatet av multiplikasjonen et større tall. Hvis vi har eksponentialfunksjonen f(x) = 3^x, får vi for verdiene to, tre, fire resultatene: f(2) = 3² = 3 · 3 = 9. For tre: f(3) = 3³ = 3 · 3 · 3 = 27. Videre f(4) = 81. Funksjonen er altså strengt voksende. Legg merke til at også om grunntallet var et hvilket som helst annet tall som er større enn én, ville funksjonen fortsatt være strengt voksende.

Derfor må vi skille mellom to typer grafer avhengig av verdien av grunntallet a.

Grafer til eksponentialfunksjoner

Fra det forrige kapittelet vet vi at grafen må ha to grunnleggende former avhengig av verdien av grunntallet a. Først viser vi grafen for verdier av a i intervallet ⟨0, 1⟩.

Vi ser at funksjonen er strengt avtagende og går gjennom punktet (0, 1). Det er ikke tilfeldig. Fra egenskapene til potenser vet vi at alt opphøyd i null er én. Altså ${\frac{1}{2}}^0=1,5^0=1,{33}^0=1$ og så videre. Derfor må hver kurve til en eksponentialfunksjon gå gjennom dette punktet. Også kurven som tilsvarer en eksponentialfunksjon med a>1, som du ser på følgende figur:

Egenskaper ved eksponentialfunksjoner

• Definisjonsmengden er mengden av alle reelle tall
• Verdimengden er intervallet ⟨0, → ⟩
• Den er nedad begrenset, a^x>0. Den er ikke oppad begrenset.
• Den har verken maksimum eller minimum.

Monotonien til funksjonen avhenger av verdien av a. Hvis a ligger i intervallet ⟨0, 1⟩, er funksjonen strengt avtagende. Hvis den ligger i intervallet ⟨1, → ⟩, er den strengt voksende.

Eksponentiell vekst

Begrepet «eksponentiell vekst» brukes ganske ofte også i dagligtale. Vanligvis vil man da si at noe stiger veldig fort. Et klassisk tilfelle er bakterier som deler seg, slik vi kjenner det fra tegnefilmserien «Det var en gang … livet». Der dukket det av og til opp en ond bakterie som begynte å formere seg ved at den hver gang delte seg i to. Denne måten å formere seg på kan vi beskrive med eksponentialfunksjonen f(x) = 2^x. Funksjonsverdien forteller oss antall bakterier etter x runder med deling.

Eksempel: i begynnelsen (null delinger, x = 0) har vi én bakterie, altså 2⁰ = 1. Etter den første runden har vi 2¹ = 2, altså to bakterier. Det stemmer, én bakterie deler seg i to. Nå deler begge disse bakteriene seg, så vi har 2² = 4 fire bakterier. Igjen deler hver av dem seg, så etter den tredje runden har vi allerede 2³ = 8 bakterier. Og så videre.

Denne formeringen er, selv om det ikke ser slik ut, veldig rask. Hvor mange bakterier har vi etter den tiende runden? 2¹⁰ = 1024. Det er allerede et pent tall. Etter tjue runder har vi: 2²⁰ = 1 048 576. Etter tretti runder er vi allerede over en milliard.

Denne farten er mye større enn for en helt vanlig andregradsfunksjon. Hvis vi sammenlignet farten til eksponentialfunksjonen f(x) = 2^x og andregradsfunksjonen g(x) = x², vinner eksponentialfunksjonen klart. Vi kjenner allerede verdien til funksjonen f i punktet x = 20, mens verdien til andregradsfunksjonen g i punktet x = 20 er lik: g(20) = 20² = 400. Det er mange ganger mindre enn 1 048 576.