✖

Естествени числа

Естествените числа са най-често срещаните числа в ежедневието. Това са положителните цели числа, тоест числата 1, 2, 3, 4, …

Означение

Естествените числа образуват множество, което съдържа положителните цели числа 1, 2, 3, 4, … Това множество обикновено означаваме с буквата N с удвоена първа вертикална черта, така: ℕ. Идва от английското „naturals“.

Понякога се приема, че множеството на естествените числа съдържа и нулата. Когато трябва да направим разлика, обикновено използваме обичайното ℕ за множеството без нулата, а когато искаме и нулата, добавяме нула в индекса така: ℕ0. Често използваме и означение с плюс, за да подчертаем, че работим с естествените числа без нулата: ℕ+.

Естествените числа използваме най-вече за определяне на количество („вкъщи имаме три стола“, „в парка има тридесет пейки“, …) и за определяне на поредност („първият човек на Луната“, „Канада е втората по големина държава в света“, …).

Свойства

Естествените числа имат някои интересни свойства:

  1. Множеството на естествените числа е безкрайно, но е изброимо – можем да ги подредим всичките в редица.
  • Естествените числа са затворени относно операциите събиране и умножение. Това означава, че ако умножим или съберем които и да са две естествени числа, отново получаваме естествено число.
  • Не са затворени относно изваждането, защото ако извадим по-голямо число от по-малко, получаваме отрицателно число.
  • По подобен начин не са затворени и относно делението, например 7/2 не е естествено число.

Деление с остатък

В предишния раздел казахме, че естествените числа не са затворени относно делението. Можем обаче да определим операцията деление с остатък, която със сигурност познаваш. Ако разделим 7/2, получаваме 3,5. Ако използваме деление с остатък, получаваме резултат 3 и остатък 1. Тоест ако умножим 3 · 2 и прибавим остатъка, получаваме обратно 7: 3 · 2 + 1 = 7.

Естествените числа не са затворени относно тази операция, но естествените числа заедно с нулата вече са. Тоест както частното, така и остатъкът принадлежат на множеството ℕ0.

Определението за деление с остатък изглежда така:

a=bq+r;a,q,r∈N0,b∈N,r<b

В определението делихме a:b, числото r се нарича остатък при делението, а q – частно. Какво означават условията? Предполагаме, че се движим в естествените числа заедно с нулата, но тъй като не можем да делим на нула, избираме b от множеството без нулата.

Така например при пресмятането на 19:5 имаме a = 19 и b = 5. Разлагането би изглеждало така:

19=5⋅3+4

Тоест q = 3 е частното, а r = 4 е остатъкът.

Връзки