Aire totale d’un cylindre

L’aire totale d’un cylindre nous dit quelle est la taille des surfaces qui délimitent le cylindre. Attention, il ne faut pas la confondre avec le volume du cylindre, qui nous dit « combien de litres d’eau on peut verser dans le cylindre ». Voyons à quoi ressemble un tel cylindre :

Formule

Si tu cherches seulement la formule, l’aire totale d’un cylindre dont la base a pour rayon r et dont la hauteur est h se calcule ainsi :

$$\mathcal{A}=2\cdot \pi \cdot r^2+2\cdot \pi \cdot r\cdot h$$

Calculatrice

Comment a-t-on trouvé cette formule ?

Tout cylindre a deux bases : ce sont les deux disques du haut et du bas. Il a aussi une surface latérale, la surface « entre » les bases. Pour calculer l’aire totale du cylindre, il faut calculer l’aire des deux bases, l’aire latérale et additionner ces valeurs. Comme la base est un disque, on utilise la formule de l’aire d’un disque

$${\mathcal{A}}_{\circ }=\pi \cdot r^2,$$

où r est le rayon de la base. Sur la figure, c’est le segment horizontal en pointillés. Si, par exemple, r = 6, l’aire de la base est égale à

$${\mathcal{A}}_{\circ }=\pi \cdot 6^2=36\pi$$

Il nous reste à calculer l’aire latérale. On remarque que la surface latérale est un rectangle « enroulé ». Un côté du rectangle a pour longueur la hauteur h du cylindre, sur la figure c’est le segment vertical en pointillés. L’autre côté, une fois « déroulé », a la même longueur que le périmètre du disque qui forme la base. On calcule donc d’abord le périmètre de la base, avec la formule du périmètre d’un cercle, à savoir

$$\mathcal{P}=2\cdot \pi \cdot r$$

En remplaçant, on obtient :

$$\mathcal{P}=2\cdot \pi \cdot 6=12\pi$$

Le périmètre de la base est 12π. L’aire du rectangle, notons-la ${\mathcal{A}}_{◻}$, se calcule simplement en multipliant les longueurs des deux côtés :

$${\mathcal{A}}_{◻}=12\pi \cdot h$$

Si la hauteur du cylindre était par exemple h = 10, on obtiendrait

$${\mathcal{A}}_{◻}=12\pi \cdot 10=120\pi$$

On obtient l’aire totale du cylindre, notons-la $\mathcal{A}$, en additionnant tous les résultats (sans oublier que le cylindre a deux bases) :

$$\mathcal{A}={\mathcal{A}}_{\circ }+{\mathcal{A}}_{◻}+{\mathcal{A}}_{\circ }$$

Donc, en remplaçant :

$$\mathcal{A}=36\pi +120\pi +36\pi =192\pi$$

Si un résultat avec la constante π ne te plaît pas, tu peux remplacer π par la valeur approchée 3,14 et obtenir un résultat approché

$$\mathcal{A}\approx 192\cdot 3,14=602,88$$