角錐の表面積

角錐は、ピラミッドのような形をした立体です。下には立体を支える底面があり、そのまわりにいくつかの三角形の側面があります。底面は多角形です。角錐がどんな形か、見てみましょう。

正四角錐

これは正四角錐です。底面が正多角形なので「正」、底面が四角形なので「四角錐」といいます。この図では底面は正方形です（斜めから見た図なので、少し想像力をはたらかせて正方形だと思ってください😆）。底面が四角形なので、側面は4つの三角形です。角錐の表面積は、底面積と側面積を求めて計算します。まず底面積から求めましょう。

底面は正方形なので、正方形の面積の公式を使います。

$$S_{◻}=a^2$$

ここまでは簡単です。次は少し手間のかかる部分、三角形の側面の面積です。側面 ABF の面積を求めてみましょう。

側面 ABF は三角形で、しかも二等辺三角形です。

二等辺三角形の面積を求めるには、三角形の高さが必要です。ここで必要なのは角錐の高さではなく、側面の二等辺三角形の高さです。この高さ h がわかれば、二等辺三角形の面積は次の式で求められます。

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot h}{2}$$

これが正四角錐の側面1つ分の面積です。側面4つ分の面積は次のようになります。

$$S_{4\mathrm{△}}=4\cdot \frac{a\cdot h}{2}=2\cdot a\cdot h$$

これで角錐全体の表面積を計算できます。底面積と側面積をたします。

$$S=S_{◻}+S_{4\mathrm{△}}=a^2+2\cdot a\cdot h$$

正 n 角錐の表面積

角錐はもちろん四角錐とは限りません。例えば、六角錐もあります。

このような角錐の表面積はどう求めればよいでしょうか。側面1つ分の面積は、これまでと同じ式で求めます。

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot h}{2}$$

ただし、側面は4つではなく6つあるので、この面積を6倍します。n 角錐なら n 倍します。

$$S_{n\mathrm{△}}=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}$$

底面積は、正 n 角形の面積の公式で求めます。

$$S_{n\diamond }=n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

ここで、a は辺の長さ、r は正多角形の中心から辺までの距離です。公式全体は次のようになります。

$$S=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}+n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

これをまとめると、次の式になります。

$$S=n\cdot \left(\frac{a\cdot h+a\cdot r}{2}\right)$$

さらに、次のように簡単にできます。

$$S=n\cdot a\cdot \frac{h+r}{2}$$