Overfladeareal af cylinder

Overfladearealet af en cylinder fortæller os, hvor stort et areal de flader, der afgrænser cylinderen, har. Pas på, at du ikke forveksler det med cylinderens rumfang, som fortæller os, »hvor mange liter vand vi kan hælde i cylinderen«. Lad os se på, hvordan sådan en cylinder ser ud:

Formel

Hvis du kun skal bruge formlen, så beregner du overfladearealet af en cylinder, hvis grundflade har radius r, og som har højden h, sådan her

$$O=2\cdot \pi \cdot r^2+2\cdot \pi \cdot r\cdot h$$

Beregner: beregn overfladearealet af en cylinder

Hvordan kom vi frem til formlen?

Hver cylinder har to grundflader: det er de to cirkelskiver foroven og forneden. Desuden har cylinderen en krum overflade, som er fladen »mellem« grundfladerne. Når vi vil beregne cylinderens overfladeareal, skal vi beregne arealet af begge grundflader og arealet af den krumme overflade og lægge værdierne sammen. Da grundfladen er en cirkelskive, bruger vi formlen til at beregne arealet af en cirkel

$$A_{\mathrm{g}}=\pi \cdot r^2,$$

hvor r er grundfladens radius. På figuren er det det vandrette stiplede linjestykke. Hvis for eksempel r = 6, så er grundfladens areal lig med

$$A_{\mathrm{g}}=\pi \cdot 6^2=36\pi$$

Dernæst mangler vi at beregne arealet af den krumme overflade. Vi kan lægge mærke til, at den krumme overflade består af et »rullet sammen« rektangel. Den ene side af rektanglet har en længde, der er lig med cylinderens højde h, på figuren er det det lodrette stiplede linjestykke. Den anden side ville, når vi »ruller det ud«, være lige så stor som omkredsen af den cirkel, der danner grundfladen. Vi beregner derfor først grundfladens omkreds, og her bruger vi formlen til at beregne cirklens omkreds, som er

$$O_{\mathrm{g}}=2\cdot \pi \cdot r$$

Efter indsættelse får vi:

$$O_{\mathrm{g}}=2\cdot \pi \cdot 6=12\pi$$

Grundfladens omkreds er 12π. Arealet af et rektangel, som vi betegner A_k, beregner vi ganske enkelt ved at gange længderne af begge sider:

$$A_{\mathrm{k}}=12\pi \cdot h$$

Hvis cylinderens højde for eksempel var h = 10, ville vi få

$$A_{\mathrm{k}}=12\pi \cdot 10=120\pi$$

Cylinderens samlede overfladeareal, som vi betegner O, får vi ved at lægge alle resultaterne sammen (og vi må ikke glemme, at cylinderen har to grundflader):

$$O=A_{\mathrm{g}}+A_{\mathrm{k}}+A_{\mathrm{g}}$$

Altså efter indsættelse:

$$O=36\pi +120\pi +36\pi =192\pi$$

Hvis du ikke bryder dig om et resultat med konstanten π, kan du i stedet for π indsætte den tilnærmede værdi 3,14 og få et tilnærmet resultat

$$O\approx 192\cdot 3,14=602,88$$