Overflate av sylinder

Overflaten av en sylinder forteller oss hvor stort areal flatene som avgrenser sylinderen, har til sammen. Pass på at du ikke forveksler den med volumet av sylinderen, som forteller oss «hvor mange liter vann vi kan helle i sylinderen». La oss se hvordan en slik sylinder ser ut:

Formel

Hvis du bare leter etter formelen, regner du ut overflaten av en sylinder med radius r i grunnflaten og høyde h slik:

$$O=2\cdot \pi \cdot r^2+2\cdot \pi \cdot r\cdot h$$

Kalkulator: regn ut overflaten av en sylinder

Hvordan kom vi fram til formelen?

Hver sylinder har to grunnflater: det er de to sirklene øverst og nederst. Videre har sylinderen en mantelflate, som er flaten «mellom» grunnflatene. Når vi skal regne ut overflaten av en sylinder, må vi regne ut arealet av begge grunnflatene og arealet av mantelflaten og legge disse verdiene sammen. Siden grunnflaten er en sirkel, bruker vi formelen for arealet av en sirkel

$$G=\pi \cdot r^2,$$

der r er radiusen i grunnflaten. På figuren er det det vannrette stiplede linjestykket. Hvis for eksempel r = 6, er arealet av grunnflaten lik

$$G=\pi \cdot 6^2=36\pi$$

Videre gjenstår det å regne ut arealet av mantelflaten. Vi kan legge merke til at mantelflaten består av et «sammenrullet» rektangel. Den ene siden av rektangelet har lengde lik høyden h til sylinderen, på figuren er det det loddrette stiplede linjestykket. Den andre siden, etter at vi har «rullet den ut», ville være like stor som omkretsen av sirkelen som utgjør grunnflaten. Vi regner derfor først ut omkretsen av grunnflaten, og til det bruker vi formelen for omkretsen av en sirkel, som er

$$O_{\mathrm{G}}=2\cdot \pi \cdot r$$

Når vi setter inn, får vi:

$$O_{\mathrm{G}}=2\cdot \pi \cdot 6=12\pi$$

Omkretsen av grunnflaten er 12π. Arealet av rektangelet, som vi betegner M, regner vi enkelt ut ved å gange lengdene av begge sidene:

$$M=12\pi \cdot h$$

Hvis høyden til sylinderen for eksempel var h = 10, ville vi fått

$$M=12\pi \cdot 10=120\pi$$

Den samlede overflaten av sylinderen, som vi betegner O, får vi ved å legge sammen alle resultatene (og ikke glemme at sylinderen har to grunnflater):

$$O=G+M+G$$

Altså, når vi setter inn:

$$O=36\pi +120\pi +36\pi =192\pi$$

Hvis du ikke liker svaret med konstanten π, kan du i stedet for π sette inn tilnærmingen 3,14 og få et omtrentlig svar

$$O\approx 192\cdot 3,14=602,88$$