Oppervlakte van een cilinder

De oppervlakte van een cilinder vertelt ons hoe groot de oppervlakte is van de vlakken die de cilinder begrenzen. Let op: verwar hem niet met de inhoud van een cilinder, die ons vertelt “hoeveel liter water we in de cilinder kunnen gieten”. Laten we kijken hoe zo'n cilinder eruitziet:

Formule

Zoek je alleen de formule, dan bereken je de totale oppervlakte van een cilinder waarvan het grondvlak straal r heeft en die hoogte h heeft als

$$\text{opp.}=2\cdot \pi \cdot r^2+2\cdot \pi \cdot r\cdot h$$

Rekenmachine: bereken zelf de oppervlakte van een cilinder

Hoe zijn we aan die formule gekomen?

Elke cilinder heeft twee grondvlakken: dat zijn die twee cirkelschijven boven en onder. Verder heeft de cilinder een mantel, het vlak “tussen” de grondvlakken. Willen we de totale oppervlakte van de cilinder berekenen, dan moeten we de oppervlakte van beide grondvlakken en de oppervlakte van de mantel berekenen en die waarden optellen. Omdat het grondvlak een cirkelschijf is, gebruiken we de formule voor de oppervlakte van een cirkelschijf

$${\text{opp.}}_{\circ }=\pi \cdot r^2,$$

waarbij r de straal van het grondvlak is. In de afbeelding is dat die horizontale stippellijn. Is bijvoorbeeld r = 6, dan geldt dat de oppervlakte van het grondvlak gelijk is aan

$${\text{opp.}}_{\circ }=\pi \cdot 6^2=36\pi$$

Verder moeten we nog de oppervlakte van de mantel berekenen. We kunnen opmerken dat de mantel wordt gevormd door een “opgerolde” rechthoek. Eén zijde van de rechthoek heeft een lengte gelijk aan de hoogte h van de cilinder, in de afbeelding is dat die verticale stippellijn. De andere zijde zou, na het “afrollen”, even groot zijn als de omtrek van de cirkel die het grondvlak vormt. We berekenen dus eerst de omtrek van het grondvlak, waarvoor we de formule voor de omtrek van een cirkel gebruiken, namelijk

$$O=2\cdot \pi \cdot r$$

Na invullen krijgen we:

$$O=2\cdot \pi \cdot 6=12\pi$$

De omtrek van het grondvlak is 12π. De oppervlakte van de rechthoek, die we ${\text{opp.}}_{◻}$ noemen, berekenen we eenvoudig door de lengtes van beide zijden te vermenigvuldigen:

$${\text{opp.}}_{◻}=12\pi \cdot h$$

Was de hoogte van de cilinder bijvoorbeeld h = 10, dan kregen we

$${\text{opp.}}_{◻}=12\pi \cdot 10=120\pi$$

De totale oppervlakte van de cilinder, die we opp. noemen, krijgen we door alle resultaten op te tellen (en niet te vergeten dat de cilinder twee grondvlakken heeft):

$$\text{opp.}={\text{opp.}}_{\circ }+{\text{opp.}}_{◻}+{\text{opp.}}_{\circ }$$

Dus na invullen:

$$\text{opp.}=36\pi +120\pi +36\pi =192\pi$$

Vind je een uitkomst met de constante π niet mooi, dan kun je in plaats van π de benaderde waarde 3,14 invullen en krijg je een benaderd resultaat

$$\text{opp.}\approx 192\cdot 3,14=602,88$$