Lieriön pinta-ala

Lieriön pinta-ala kertoo, kuinka suuri on lieriötä rajaavien pintojen ala. Huomaa, ettei sitä pidä sekoittaa lieriön tilavuuteen, joka kertoo, ”kuinka monta litraa vettä lieriöön voi kaataa”. Katsotaan, miltä tällainen lieriö näyttää:

Kaava

Jos etsit vain kaavaa, lieriön, jonka pohjan säde on r ja korkeus h, pinta-ala lasketaan kaavalla

$$A=2\cdot \pi \cdot r^2+2\cdot \pi \cdot r\cdot h$$

Laskin: laske lieriön pinta-ala

Miten kaavaan päädyttiin?

Jokaisella lieriöllä on kaksi pohjaa: ne ovat ne kaksi ympyrää ylhäällä ja alhaalla. Lisäksi lieriöllä on vaippa, joka on pohjien ”välissä” oleva pinta. Lieriön pinta-alan laskemiseksi täytyy laskea molempien pohjien pinta-ala sekä vaipan pinta-ala ja laskea nämä arvot yhteen. Koska pohja on ympyrä, käytetään ympyrän pinta-alan kaavaa

$$A_{\circ }=\pi \cdot r^2,$$

missä r on pohjan säde. Kuvassa se on se vaakasuora katkoviivalla piirretty jana. Jos esimerkiksi r = 6, pohjan pinta-ala on

$$A_{\circ }=\pi \cdot 6^2=36\pi$$

Seuraavaksi täytyy laskea vaipan pinta-ala. Voidaan huomata, että vaippa on ”rullattu” suorakulmio. Suorakulmion yhden sivun pituus on lieriön korkeus h, kuvassa se on se pystysuora katkoviivalla piirretty jana. Toinen sivu olisi ”levitettynä” yhtä pitkä kuin pohjana olevan ympyrän kehä. Lasketaan siis ensin pohjan kehän pituus, johon käytetään ympyrän kehän pituuden kaavaa

$$p=2\cdot \pi \cdot r$$

Sijoituksen jälkeen saadaan:

$$p=2\cdot \pi \cdot 6=12\pi$$

Pohjan kehän pituus on 12π. Suorakulmion pinta-ala, merkitään sitä $A_{◻}$, lasketaan yksinkertaisesti kertomalla molempien sivujen pituudet:

$$A_{◻}=12\pi \cdot h$$

Jos lieriön korkeus olisi vaikkapa h = 10, saataisiin

$$A_{◻}=12\pi \cdot 10=120\pi$$

Lieriön kokonaispinta-ala, merkitään sitä A, saadaan laskemalla kaikki tulokset yhteen (ja muistamalla, että lieriöllä on kaksi pohjaa):

$$A=A_{\circ }+A_{◻}+A_{\circ }$$

Eli sijoituksen jälkeen:

$$A=36\pi +120\pi +36\pi =192\pi$$

Jos tulos, jossa esiintyy vakio π, ei miellytä, π:n paikalle voi sijoittaa likiarvon 3,14, jolloin saadaan likimääräinen tulos

$$A\approx 192\cdot 3,14=602,88$$