Área total do cilindro

A área total do cilindro nos diz qual é a área das superfícies que limitam o cilindro. Atenção, não confunda com o volume do cilindro, que nos diz “quantos litros de água conseguimos despejar no cilindro”. Vamos ver como é um cilindro:

Fórmula

Se você quer só a fórmula, a área total de um cilindro cuja base tem raio r e cuja altura é h é

$$A_t=2\cdot \pi \cdot r^2+2\cdot \pi \cdot r\cdot h$$

Calculadora: calcule a área total do cilindro

Como chegamos a essa fórmula?

Todo cilindro tem duas bases: são aqueles dois círculos, em cima e embaixo. Além disso, o cilindro tem a superfície lateral, que é a superfície “entre” as bases. Para calcular a área total do cilindro, precisamos calcular a área das duas bases, a área da superfície lateral e somar esses valores. Como a base é formada por um círculo, usamos a fórmula para o cálculo da área do círculo

$$A_{\circ }=\pi \cdot r^2,$$

em que r é o raio da base. Na figura, é aquele segmento horizontal tracejado. Se, por exemplo, r = 6, então a área da base é igual a

$$A_{\circ }=\pi \cdot 6^2=36\pi$$

Depois, falta-nos calcular a área da superfície lateral. Podemos notar que a superfície lateral é formada por um retângulo “enrolado”. Um lado do retângulo tem comprimento igual à altura h do cilindro, que na figura é aquele segmento tracejado vertical. O outro lado, depois de “desenrolado”, teria o mesmo comprimento que a circunferência do círculo que forma a base. Então, primeiro calculamos o comprimento da circunferência da base com a fórmula do comprimento da circunferência, que é

$$C=2\cdot \pi \cdot r$$

Depois da substituição, obtemos:

$$C=2\cdot \pi \cdot 6=12\pi$$

O comprimento da circunferência da base é 12π. Calculamos a área do retângulo, que vamos indicar por $A_{◻}$, simplesmente multiplicando os comprimentos dos dois lados:

$$A_{◻}=12\pi \cdot h$$

Se a altura do cilindro fosse, por exemplo, h = 10, obteríamos

$$A_{◻}=12\pi \cdot 10=120\pi$$

Obteríamos a área total do cilindro, que vamos indicar por A_t, somando todos os resultados (e sem esquecer que o cilindro tem duas bases):

$$A_t=A_{\circ }+A_{◻}+A_{\circ }$$

Ou seja, depois da substituição:

$$A_t=36\pi +120\pi +36\pi =192\pi$$

Se você não gosta do resultado com a constante π, pode substituir π pelo valor aproximado 3,14 e obter um resultado aproximado

$$A_t\approx 192\cdot 3,14=602,88$$