Begränsningsarea av en cylinder

Begränsningsarean av en cylinder talar om hur stor den sammanlagda arean av de ytor som begränsar cylindern är. Förväxla den inte med cylinderns volym, som talar om ”hur många liter vatten vi kan hälla i cylindern”. Så här ser en cylinder ut:

Formel

Om du bara letar efter formeln: begränsningsarean av en cylinder vars bas har radien r och som har höjden h beräknar du som

$$A=2\cdot \pi \cdot r^2+2\cdot \pi \cdot r\cdot h$$

Miniräknare: beräkna begränsningsarean av en cylinder

Hur kom vi fram till formeln?

Varje cylinder har två basytor: de två cirklarna upptill och nedtill. Dessutom har cylindern en mantelyta, som är ytan ”mellan” basytorna. För att beräkna cylinderns begränsningsarea måste vi beräkna arean av båda basytorna och mantelytan och addera dessa värden. Eftersom basytan är en cirkel använder vi formeln för cirkelns area

$$A_{\circ }=\pi \cdot r^2,$$

där r är basens radie. I bilden är det den vågräta streckade sträckan. Om till exempel r = 6 är basytans area

$$A_{\circ }=\pi \cdot 6^2=36\pi$$

Sedan återstår att beräkna mantelytans area. Vi kan se att mantelytan är en ”hoprullad” rektangel. Den ena sidan i rektangeln är lika lång som cylinderns höjd h, i bilden är det den lodräta streckade sträckan. Den andra sidan skulle, efter att vi har ”rullat ut” den, vara lika lång som omkretsen av cirkeln som bildar basen. Vi beräknar därför först basens omkrets med formeln för cirkelns omkrets, som är

$$O=2\cdot \pi \cdot r$$

När vi sätter in får vi:

$$O=2\cdot \pi \cdot 6=12\pi$$

Basens omkrets är 12π. Arean av rektangeln, som vi betecknar $A_{◻}$, beräknar vi enkelt genom att multiplicera längderna på de båda sidorna:

$$A_{◻}=12\pi \cdot h$$

Om cylinderns höjd till exempel vore h = 10 skulle vi få

$$A_{◻}=12\pi \cdot 10=120\pi$$

Cylinderns hela begränsningsarea, som vi betecknar A, får vi genom att addera alla resultat (och inte glömma att cylindern har två basytor):

$$A=A_{\circ }+A_{◻}+A_{\circ }$$

När vi sätter in blir det alltså:

$$A=36\pi +120\pi +36\pi =192\pi$$

Om du inte gillar ett resultat med konstanten π kan du i stället för π sätta in närmevärdet 3,14 och får då det ungefärliga resultatet

$$A\approx 192\cdot 3,14=602,88$$