正多角形の面積

正多角形とは、すべての辺の長さが等しく、すべての角の大きさも等しい多角形のことです。例えば、正方形は正多角形です。次の図は正八角形です。

1辺の長さがわかっているとき、この正八角形の面積はどうすれば求められるでしょうか。例として、1辺の長さを a = 10 とします。まず、正八角形を8つの合同な三角形に分けます。

これで計算が簡単になりました。三角形1つの面積を求めて8倍すれば、正八角形全体の面積になります。これらの三角形について、何がわかるでしょうか。どれも二等辺三角形です。中心 O から出る2辺の長さは等しく、正八角形の辺の長さはそれとは異なります（すべての辺の長さが等しい三角形、つまり正三角形に分けられるのは正六角形だけです）。例えば、辺 FO と辺 EO の長さは等しくなります。

中心 O のまわりにできる角（中心角）、例えば ∠FOE は何度でしょうか。三角形はどれも合同なので、頂点 O に集まる角はすべて同じ大きさです。また、これらの角をすべてたすと、1回転分の360°になります。したがって、∠FOE の大きさは、360°を角の個数、つまり三角形の個数で割ったものです。

$$\mathrm{\angle }FOE=\frac{{360}^{\circ }}{8}={45}^{\circ }$$

三角形の内角の和は 180° で、この三角形は二等辺三角形なので、残りの2つの角はどちらも 67.5° です。

では、この二等辺三角形の面積はどう求めればよいでしょうか。辺 FE の長さは問題からわかっていて、|FE| = 10 です。ここで、点 O を通る三角形の高さをかき入れます。

この線分 OP_s によって、三角形は2つの小さな三角形に分かれます。2つは合同で、左右が反対になっているだけです。そこで、三角形を少し並べかえてみましょう。三角形 FOP_s を移動して、長方形ができるようにします。

この長方形 OF₁EP_s の面積は、もとの三角形 FOE の面積と等しくなります。長方形の面積は、2辺の長さの積で求められます。

$$S_{◻}=|h_s|\cdot |P_{s}E|$$

線分 P_sE の長さはわかっています。辺 FE の長さの半分で、この辺は正八角形の1辺なので、問題の条件から |FE| = 10 です。したがって、線分 P_sE の長さは |P_sE| = 5 です。難しいのは高さ h_s のほうです。三角形 P_sOE は直角三角形なので、三角比が使えます。角 ∠P_sOE の大きさは、もとの角 ∠FOE の半分です。

$$\mathrm{\angle }{P}_{s}OE=\frac{\mathrm{\angle }FOE}{2}=\frac{{45}^{\circ }}{2}={22.5}^{\circ }$$

ここで、コタンジェントを使います。角のコタンジェントは、隣辺の長さを対辺の長さで割った値です（コタンジェントはタンジェントの逆数で、日本の高校では扱いません）。わかりやすくするため、角 ∠P_sOE をギリシャ文字 α で表します。

$$\cot \alpha =\frac{|h_s|}{|P_{s}E|}$$

|h_s| を求めるには、この式の両辺に |P_sE| をかけます。

$$\cot \alpha \cdot |P_{s}E|=|h_s|$$

これで高さを表す式が得られました。値を代入します。

$$\begin{array}{rcl}|h_s|& =& \cot \alpha \cdot |P_{s}E|\\ & \fallingdotseq & 2.414\cdot 5\\ & \fallingdotseq & 12\end{array}$$

高さはおよそ12です。長方形の面積、つまり三角形の面積は次の式で表せます。

$$S_{\mathrm{△}}=|h_s|\cdot |P_{s}E|$$

値を代入すると、次のようになります。

$$S_{\mathrm{△}}=12\cdot 5=60$$

三角形1つの面積はおよそ60です。三角形は全部で8つあるので、1辺の長さが a = 10 の正八角形の面積はおよそ次のとおりです。

$$S=8\cdot S_{\mathrm{△}}=480$$

ここから公式を導くにはどうすればよいでしょうか。一般の正 n 角形の1辺の長さを a とすると、次の式が成り立ちます。

$$S=n\cdot S_{\mathrm{△}}$$

あとは $S_{\mathrm{△}}$ を一般の式で表すだけです。

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \cot \alpha \cdot \frac{a}{2}$$

角 α は、中心 O のまわりの角（中心角）の半分なので、次のようになります。

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }}{n\cdot 2}=\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

これを代入します。

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \cot \frac{{180}^{\circ }}{n}\cdot \frac{a}{2}$$

少し整理すると、次のようになります。

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot \cot \frac{{180}^{\circ }}{n}$$

最後に、この値に正 n 角形の辺の数をかければ、求める公式が得られます。

$$S=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot n\cdot \cot \frac{{180}^{\circ }}{n}$$

計算ツール：正 n 角形の面積