Oberfläche eines Zylinders

Die Oberfläche eines Zylinders sagt uns, wie groß der Flächeninhalt der Flächen ist, die den Zylinder begrenzen. Achtung, verwechsle sie nicht mit dem Volumen des Zylinders, das uns sagt, „wie viele Liter Wasser wir in den Zylinder gießen können“. Schauen wir uns an, wie ein solcher Zylinder aussieht:

Formel

Wenn du nur die Formel suchst: Die Oberfläche eines Zylinders, dessen Grundfläche den Radius r hat und der die Höhe h hat, berechnest du als

$$A_O=2\cdot \pi \cdot r^2+2\cdot \pi \cdot r\cdot h$$

Rechner: Berechne die Oberfläche eines Zylinders

Wie sind wir auf die Formel gekommen?

Jeder Zylinder hat zwei Grundflächen: Das sind die beiden Kreise oben und unten. Außerdem hat der Zylinder einen Mantel, das ist die Fläche „zwischen“ den Grundflächen. Um die Oberfläche des Zylinders zu berechnen, müssen wir den Flächeninhalt beider Grundflächen und des Mantels berechnen und diese Werte addieren. Da die Grundfläche ein Kreis ist, verwenden wir die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises

$$A_{\circ }=\pi \cdot r^2,$$

wobei r der Radius der Grundfläche ist. In der Abbildung ist das die waagrechte gestrichelte Strecke. Ist zum Beispiel r = 6, dann gilt, dass der Flächeninhalt der Grundfläche gleich

$$A_{\circ }=\pi \cdot 6^2=36\pi$$

ist.

Als Nächstes müssen wir noch den Flächeninhalt des Mantels berechnen. Wir können feststellen, dass der Mantel aus einem „aufgerollten“ Rechteck besteht. Eine Seite des Rechtecks hat die Länge der Höhe h des Zylinders, in der Abbildung ist das die senkrechte gestrichelte Strecke. Die andere Seite wäre nach dem „Abrollen“ so groß wie der Umfang des Kreises, der die Grundfläche bildet. Wir berechnen also zuerst den Umfang der Grundfläche, wofür wir die Formel für den Umfang eines Kreises verwenden, nämlich

$$U=2\cdot \pi \cdot r$$

Nach dem Einsetzen erhalten wir:

$$U=2\cdot \pi \cdot 6=12\pi$$

Der Umfang der Grundfläche ist 12π. Den Flächeninhalt des Rechtecks, den wir mit $A_{◻}$ bezeichnen, berechnen wir einfach, indem wir die Längen beider Seiten multiplizieren:

$$A_{◻}=12\pi \cdot h$$

Wäre die Höhe des Zylinders zum Beispiel h = 10, erhielten wir

$$A_{◻}=12\pi \cdot 10=120\pi$$

Die gesamte Oberfläche des Zylinders, die wir mit A_O bezeichnen, erhalten wir, indem wir alle Ergebnisse addieren (und nicht vergessen, dass der Zylinder zwei Grundflächen hat):

$$A_O=A_{\circ }+A_{◻}+A_{\circ }$$

Nach dem Einsetzen also:

$$A_O=36\pi +120\pi +36\pi =192\pi$$

Gefällt dir das Ergebnis mit der Konstante π nicht, kannst du statt π den Näherungswert 3,14 einsetzen und erhältst das Näherungsergebnis

$$A_O\approx 192\cdot 3,14=602,88$$