Εμβαδόν επιφάνειας κυλίνδρου

Το εμβαδόν της επιφάνειας του κυλίνδρου μας λέει πόσο μεγάλο είναι το εμβαδόν των επιφανειών που περικλείουν τον κύλινδρο. Προσοχή, μην το μπερδεύεις με τον όγκο του κυλίνδρου, που μας λέει «πόσα λίτρα νερού μπορούμε να ρίξουμε μέσα στον κύλινδρο». Ας δούμε πώς μοιάζει ένας τέτοιος κύλινδρος:

Τύπος

Αν ψάχνεις μόνο τον τύπο, τότε το εμβαδόν της επιφάνειας του κυλίνδρου, του οποίου η βάση έχει ακτίνα R και που έχει ύψος υ, το υπολογίζεις ως

$$E_{o\lambda }=2\cdot \pi \cdot R^2+2\cdot \pi \cdot R\cdot \upsilon$$

Αριθμομηχανή: υπολόγισε το εμβαδόν της επιφάνειας ενός κυλίνδρου

Πώς φτάσαμε σε αυτόν τον τύπο;

Κάθε κύλινδρος έχει δύο βάσεις: είναι οι δύο κυκλικοί δίσκοι πάνω και κάτω. Επιπλέον, ο κύλινδρος έχει παράπλευρη επιφάνεια, δηλαδή την επιφάνεια «ανάμεσα» στις βάσεις. Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν της επιφάνειας του κυλίνδρου, πρέπει να υπολογίσουμε το εμβαδόν και των δύο βάσεων, το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας και να προσθέσουμε αυτές τις τιμές. Επειδή η βάση είναι κυκλικός δίσκος, χρησιμοποιούμε τον τύπο για το εμβαδόν κύκλου

$$E_{\circ }=\pi \cdot R^2,$$

όπου R είναι η ακτίνα της βάσης. Στο σχήμα είναι το οριζόντιο διακεκομμένο ευθύγραμμο τμήμα. Αν για παράδειγμα R = 6, τότε το εμβαδόν της βάσης είναι ίσο με

$$E_{\circ }=\pi \cdot 6^2=36\pi$$

Στη συνέχεια μένει να υπολογίσουμε το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας. Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η παράπλευρη επιφάνεια σχηματίζεται από ένα «τυλιγμένο» ορθογώνιο. Η μία πλευρά του ορθογωνίου έχει μήκος ίσο με το ύψος υ του κυλίνδρου, στο σχήμα είναι το κατακόρυφο διακεκομμένο ευθύγραμμο τμήμα. Η άλλη πλευρά, μετά το «ξετύλιγμα», θα ήταν ίση με το μήκος του κύκλου που σχηματίζει τη βάση. Υπολογίζουμε λοιπόν πρώτα το μήκος του κύκλου της βάσης, για το οποίο χρησιμοποιούμε τον τύπο για το μήκος κύκλου, που είναι

$$L=2\cdot \pi \cdot R$$

Μετά την αντικατάσταση παίρνουμε:

$$L=2\cdot \pi \cdot 6=12\pi$$

Το μήκος του κύκλου της βάσης είναι 12π. Το εμβαδόν ορθογωνίου, ας το συμβολίσουμε $E_{◻}$, το υπολογίζουμε απλά πολλαπλασιάζοντας τα μήκη των δύο πλευρών:

$$E_{◻}=12\pi \cdot \upsilon$$

Αν το ύψος του κυλίνδρου ήταν για παράδειγμα υ = 10, θα παίρναμε

$$E_{◻}=12\pi \cdot 10=120\pi$$

Το συνολικό εμβαδόν της επιφάνειας του κυλίνδρου, ας το συμβολίσουμε E_ολ, θα το πάρουμε προσθέτοντας όλα τα αποτελέσματα (και χωρίς να ξεχάσουμε ότι ο κύλινδρος έχει δύο βάσεις):

$$E_{o\lambda }=E_{\circ }+E_{◻}+E_{\circ }$$

Δηλαδή μετά την αντικατάσταση:

$$E_{o\lambda }=36\pi +120\pi +36\pi =192\pi$$

Αν δεν σου αρέσει το αποτέλεσμα με τη σταθερά π, μπορείς να αντικαταστήσεις το π με την προσεγγιστική τιμή 3,14 και να πάρεις το προσεγγιστικό αποτέλεσμα

$$E_{o\lambda }\approx 192\cdot 3,14=602,88$$