Dreieck

Ein Dreieck ist eine geometrische Figur, die aus drei Eckpunkten besteht, die durch drei Strecken verbunden sind.

Beschreibung

Sieh dir die folgende Abbildung an: In der Abbildung siehst du ein Dreieck, das aus den Eckpunkten A, B und C besteht; es handelt sich also um das Dreieck ABC. Wir finden hier drei Seiten: AB, BC, AC. Beachte außerdem, dass diese Seiten zusätzlich mit kleinen Buchstaben benannt sind. Diese Benennung folgt einer Regel – gegenüber dem Eckpunkt A liegt die Seite a. Gegenüber dem Eckpunkt B liegt die Seite b und gegenüber dem Eckpunkt C die Seite c. Nach dem jeweiligen Eckpunkt wird also immer die gegenüberliegende Seite benannt; die Seite, die nicht von diesem Eckpunkt gebildet wird.

Jedes Dreieck hat drei Innenwinkel, die wir üblicherweise mit den griechischen Buchstaben Alpha α, Beta β und Gamma γ bezeichnen. Die Summe aller drei Innenwinkel muss immer 180° ergeben.

Ein Dreieck hat keine Diagonalen, aber es hat Seitenhalbierende und Höhen.

Dreiecksungleichung

Die Dreiecksungleichung ist eine wichtige Beziehung, die im Dreieck gilt. Es gilt, dass die Summe der Längen zweier beliebiger Seiten immer größer ist als die Länge der dritten, übrigen Seite. Wenn wir es aufschreiben:

$$\begin{array}{rcl}|a|+|b|& >& |c|\\ |a|+|c|& >& |b|\\ |b|+|c|& >& |a|\end{array}$$

Was würde passieren, wenn diese Ungleichung nicht gelten würde? Also wenn eine Seite länger wäre als die beiden übrigen zusammen? Es könnte kein Dreieck entstehen, denn die beiden Seiten wären zu kurz und würden einander nicht „erreichen“.

Würde dort Gleichheit gelten, also wären zwei Seiten zusammen genauso lang wie die dritte Seite, dann würden beim Versuch, das Dreieck zu konstruieren, alle Punkte auf einer Geraden liegen:

Die Dreiecksungleichung wird auch bei den Definitionen anderer Begriffe verwendet, oft solchen, die mit Abständen zusammenhängen, wo dieses Prinzip am natürlichsten ist. Wenn wir über Entfernungen in der realen Welt sprechen, gilt sicher, dass der direkte Weg (Luftlinie) von Berlin nach München kürzer ist als der Weg von Berlin nach Hamburg und dann von Hamburg nach München.

Arten von Dreiecken

Bei Dreiecken unterscheiden wir mehrere verschiedene Arten, in der Regel nach den Seitenlängen und den Winkeln.

• Ein gleichseitiges Dreieck hat alle Seiten gleich lang. Außerdem haben alle Innenwinkel eine Größe von 60°.
• Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleich lange Seiten, und die dritte Seite hat eine andere Länge. Die gleich langen Seiten nennt man Schenkel, die dritte Seite nennt man Basis. Die Winkel, die die Schenkel eines solchen Dreiecks mit der Basis einschließen, sind immer gleich groß.
• Ein spitzwinkliges Dreieck hat nur spitze Innenwinkel, also Winkel kleiner als 90°.
• Ein rechtwinkliges Dreieck hat genau einen rechten Winkel, also einen Winkel von 90°. Ein Dreieck kann nicht zwei rechte Winkel haben, weil die Summe der Innenwinkel 180 beträgt – der dritte Winkel müsste dann die Größe null haben, was nicht möglich ist. Im rechtwinkligen Dreieck gilt der berühmte Satz des Pythagoras. Weitere Informationen findest du im eigenen Artikel über das rechtwinklige Dreieck.
• Ein stumpfwinkliges Dreieck hat genau einen stumpfen Winkel, er ist also größer als 90°. Wieder gilt: Ein Dreieck kann nicht zwei Winkel größer als 90° haben, die übrigen zwei Winkel müssen also notwendigerweise spitz sein, also kleiner als 90°.