Триъгълник

Триъгълникът е геометрична фигура, образувана от три върха, които са свързани с три отсечки.

Описание

Разгледай следната фигура: На фигурата се вижда триъгълник, образуван от върховете A, B и C; това е триъгълникът ABC. Тук намираме три страни: AB, BC, AC. Освен това забележи, че тези страни са наименувани още и с малки букви. Това наименуване има свое правило – срещу върха A е страната a. Срещу върха B е страната b, а срещу върха C е страната c. Всяка страна носи името на срещуположния връх, т.е. на върха, който не лежи на нея.

Всеки триъгълник има три вътрешни ъгъла, които обикновено означаваме с гръцките букви алфа α, бета β и гама γ. Сборът на трите вътрешни ъгъла винаги трябва да е 180 градуса.

Триъгълникът няма диагонали, но има медиани и височини.

Неравенство на триъгълника

Неравенството на триъгълника е важна зависимост, която е в сила за всеки триъгълник. Сборът от дължините на всеки две страни е винаги по-голям от дължината на третата, останалата страна. Записано:

$$\begin{array}{rcl}|a|+|b|& >& |c|\\ |a|+|c|& >& |b|\\ |b|+|c|& >& |a|\end{array}$$

Какво би станало, ако това неравенство не е изпълнено? Т.е. ако едната страна е по-дълга от сбора на другите две? Триъгълник не би могъл да се образува, защото тези две страни ще са твърде къси и няма да „се срещнат“.

Ако пък имаше равенство, т.е. две страни имаха общо същата дължина като третата страна, при опит да начертаем триъгълник всички точки биха лежали на една права:

Неравенството на триъгълника се използва и при определянето на други понятия, често свързани с разстояния, където този принцип е най-естествен. Ако говорим за разстояния в реалния свят, прекият път (по въздушна линия) от София до Варна със сигурност е по-къс от пътя от София до Русе и после от Русе до Варна.

Видове триъгълници

При триъгълниците разграничаваме няколко различни вида, обикновено според дължините на страните и ъглите.

• Равностранният триъгълник има всички страни равни. Същевременно всички вътрешни ъгли са по 60 градуса.
• Равнобедреният триъгълник има две равни страни, а третата страна е с друга дължина. Равните страни се наричат бедра, а третата страна – основа. Ъглите, които бедрата на такъв триъгълник сключват с основата, са винаги еднакви.
• Остроъгълният триъгълник има всеки вътрешен ъгъл остър, т.е. по-малък от 90 градуса.
• Правоъгълният триъгълник има точно един прав ъгъл, т.е. с мярка 90 градуса. Триъгълникът не може да има два прави ъгъла, защото сборът на вътрешните ъгли е равен на 180 – третият ъгъл тогава би трябвало да е нула, което е невъзможно. В правоъгълния триъгълник е в сила прочутата Питагорова теорема. За повече информация прочети отделната статия за правоъгълния триъгълник.
• Тъпоъгълният триъгълник има точно един тъп ъгъл, т.е. с мярка по-голяма от 90 градуса. Отново обърни внимание, че триъгълникът не може да има два ъгъла, по-големи от 90 градуса, така че останалите два ъгъла непременно са остри, т.е. по-малки от 90 градуса.