Kolmio

Kolmio on geometrinen kuvio, jonka muodostavat kolme kärkeä, jotka on yhdistetty kolmella janalla.

Kuvaus

Katso seuraavaa kuvaa: Kuvassa näkyy kolmio, jonka muodostavat kärjet A, B ja C; kyseessä on siis kolmio ABC. Siinä on kolme sivua: AB, BC, AC. Huomaa lisäksi, että nämä sivut on nimetty vielä pienillä kirjaimilla. Nimeämisellä on sääntö — kärjen A vastainen sivu on a. Kärjen B vastainen sivu on b ja kärjen C vastainen sivu on c. Kunkin kärjen mukaan nimetään siis aina sen vastainen sivu eli se sivu, jota kyseinen kärki ei muodosta.

Jokaisella kolmiolla on kolme sisäkulmaa, joita merkitsemme yleensä kreikkalaisilla kirjaimilla alfa α, beeta β ja gamma γ. Kaikkien kolmen sisäkulman summan on aina oltava 180 astetta.

Kolmiolla ei ole lävistäjiä, mutta sillä on keskijanat ja korkeusjanat.

Kolmioepäyhtälö

Kolmioepäyhtälö on tärkeä kolmiossa pätevä suhde. Kahden minkä tahansa sivun pituuksien summa on aina suurempi kuin kolmannen, jäljellä olevan sivun pituus. Kirjoitettuna:

$$\begin{array}{rcl}|a|+|b|& >& |c|\\ |a|+|c|& >& |b|\\ |b|+|c|& >& |a|\end{array}$$

Mitä tapahtuisi, jos tämä epäyhtälö ei pätisi? Eli jos yksi sivu olisi pidempi kuin kaksi muuta yhteensä? Kolmiota ei voisi syntyä, koska nuo kaksi sivua olisivat liian lyhyitä eivätkä ”ylettyisi toisiinsa”.

Jos taas pätisi yhtäsuuruus eli kaksi sivua olisivat yhteensä yhtä pitkiä kuin kolmas sivu, kaikki pisteet olisivat kolmiota piirrettäessä samalla suoralla:

Kolmioepäyhtälöä käytetään myös muiden käsitteiden määrittelyssä, usein sellaisissa, jotka liittyvät jollakin tavalla etäisyyteen, jossa tämä periaate on luonnollisin. Jos puhumme etäisyyksistä todellisessa maailmassa, on totta, että suora reitti (linnuntietä) Helsingistä Ouluun on varmasti lyhyempi kuin reitti Helsingistä Turkuun ja sieltä Ouluun.

Kolmioiden lajit

Kolmioissa erotetaan useita eri lajeja, yleensä sivujen pituuksien ja kulmien mukaan.

• Tasasivuisen kolmion kaikki sivut ovat yhtä pitkät. Samalla kaikkien sisäkulmien suuruus on 60 astetta.
• Tasakylkisen kolmion kaksi sivua ovat yhtä pitkät ja kolmannen sivun pituus on eri. Yhtä pitkiä sivuja kutsutaan kyljiksi ja kolmatta sivua kannaksi. Kulmat, jotka tällaisen kolmion kyljet muodostavat kannan kanssa, ovat aina yhtä suuret.
• Teräväkulmaisen kolmion jokainen sisäkulma on terävä eli pienempi kuin 90 astetta.
• Suorakulmaisessa kolmiossa on täsmälleen yksi suorakulma eli 90 asteen kulma. Kolmiossa ei voi olla kahta suorakulmaa, koska sisäkulmien summa on 180 — kolmannen kulman suuruuden pitäisi silloin olla nolla, mikä ei ole mahdollista. Suorakulmaisessa kolmiossa pätee kuuluisa Pythagoraan lause. Lisätietoja saat lukemalla erillisen artikkelin suorakulmaisesta kolmiosta.
• Tylppäkulmaisessa kolmiossa on täsmälleen yksi tylppä kulma eli sen suuruus on yli 90 astetta. Huomaa taas, ettei kolmiossa voi olla kahta kulmaa, jotka ovat suurempia kuin 90 astetta, joten kahden muun kulman on välttämättä oltava teräviä eli pienempiä kuin 90 astetta.