Τρίγωνο

Το τρίγωνο είναι γεωμετρικό σχήμα που σχηματίζεται από τρεις κορυφές, οι οποίες ενώνονται με τρία ευθύγραμμα τμήματα.

Περιγραφή

Κοίταξε το επόμενο σχήμα: Στο σχήμα βλέπεις ένα τρίγωνο που σχηματίζεται από τις κορυφές A, B και C, δηλαδή το τρίγωνο ABC. Βρίσκουμε εδώ τρεις πλευρές: AB, BC, AC. Παρατήρησε ακόμη ότι οι πλευρές αυτές έχουν επιπλέον ονομαστεί με μικρά γράμματα. Η ονομασία αυτή έχει έναν κανόνα – απέναντι από την κορυφή A έχουμε την πλευρά a. Απέναντι από την κορυφή B είναι η πλευρά b και απέναντι από την κορυφή C είναι η πλευρά c. Κάθε κορυφή δίνει έτσι το όνομα στην απέναντι πλευρά – σε αυτήν που δεν σχηματίζεται από την κορυφή αυτή.

Κάθε τρίγωνο έχει τρεις εσωτερικές γωνίες, που συνήθως τις συμβολίζουμε με τα ελληνικά γράμματα άλφα α, βήτα β και γάμμα γ. Το άθροισμα και των τριών εσωτερικών γωνιών πρέπει πάντα να είναι 180 μοίρες.

Το τρίγωνο δεν έχει διαγώνιους, έχει όμως διαμέσους και ύψη.

Τριγωνική ανισότητα

Η τριγωνική ανισότητα είναι μια σημαντική σχέση που ισχύει στο τρίγωνο. Ισχύει ότι το άθροισμα των μηκών δύο οποιωνδήποτε πλευρών είναι πάντα μεγαλύτερο από το μήκος της τρίτης, της υπόλοιπης πλευράς. Αν το γράψουμε:

$$\begin{array}{rcl}|a|+|b|& >& |c|\\ |a|+|c|& >& |b|\\ |b|+|c|& >& |a|\end{array}$$

Τι θα γινόταν αν η ανισότητα αυτή δεν ίσχυε; Δηλαδή αν μία πλευρά ήταν μεγαλύτερη από το άθροισμα των άλλων δύο; Δεν θα μπορούσε να σχηματιστεί τρίγωνο, επειδή οι δύο πλευρές θα ήταν πολύ κοντές και «δεν θα έφταναν» η μία την άλλη.

Αν ίσχυε ισότητα, δηλαδή αν οι δύο πλευρές είχαν μαζί το ίδιο μήκος με την τρίτη πλευρά, τότε στην προσπάθεια να κατασκευάσουμε το τρίγωνο όλα τα σημεία θα βρίσκονταν σε μία ευθεία:

Η τριγωνική ανισότητα χρησιμοποιείται και στους ορισμούς άλλων εννοιών, που συνήθως σχετίζονται με αποστάσεις, όπου η αρχή αυτή είναι η πιο φυσική. Αν μιλάμε για αποστάσεις στον πραγματικό κόσμο, σίγουρα ισχύει ότι η απευθείας διαδρομή (σε ευθεία γραμμή) από την Αθήνα στη Θεσσαλονίκη είναι συντομότερη από τη διαδρομή από την Αθήνα στα Ιωάννινα και μετά από τα Ιωάννινα στη Θεσσαλονίκη.

Είδη τριγώνων

Στα τρίγωνα ξεχωρίζουμε διάφορα είδη, συνήθως ανάλογα με τα μήκη των πλευρών και τις γωνίες.

• Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει όλες τις πλευρές ίσες. Ταυτόχρονα ισχύει ότι όλες οι εσωτερικές γωνίες έχουν μέτρο 60 μοίρες.
• Το ισοσκελές τρίγωνο έχει δύο πλευρές ίσες και η τρίτη πλευρά έχει διαφορετικό μήκος. Τις δύο ίσες πλευρές τις λέμε και σκέλη, την τρίτη πλευρά τη λέμε βάση. Οι γωνίες που σχηματίζουν οι ίσες πλευρές ενός τέτοιου τριγώνου με τη βάση είναι πάντα ίσες.
• Το οξυγώνιο τρίγωνο έχει κάθε εσωτερική γωνία οξεία, δηλαδή μικρότερη από 90 μοίρες.
• Το ορθογώνιο τρίγωνο έχει ακριβώς μία γωνία ορθή, δηλαδή με μέτρο 90 μοίρες. Ένα τρίγωνο δεν μπορεί να έχει δύο ορθές γωνίες, επειδή το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ισούται με 180 – η τρίτη γωνία θα έπρεπε τότε να έχει μέτρο μηδέν, κάτι που δεν είναι δυνατό. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει το περίφημο Πυθαγόρειο θεώρημα. Για περισσότερες πληροφορίες διάβασε το ξεχωριστό άρθρο για το ορθογώνιο τρίγωνο.
• Το αμβλυγώνιο τρίγωνο έχει ακριβώς μία γωνία αμβλεία, δηλαδή το μέτρο της είναι μεγαλύτερο από 90 μοίρες. Πάλι πρόσεξε ότι ένα τρίγωνο δεν μπορεί να έχει δύο γωνίες μεγαλύτερες από 90 μοίρες, άρα οι άλλες δύο γωνίες πρέπει αναγκαστικά να είναι οξείες, δηλαδή μικρότερες από 90 μοίρες.