Triangle

Un triangle est une figure géométrique formée de trois sommets reliés par trois segments.

Description

Observe la figure suivante : On voit sur la figure un triangle formé des sommets A, B et C ; c’est donc le triangle ABC. On y trouve trois côtés : [AB], [BC], [AC]. Remarque aussi que ces côtés sont en plus nommés par des lettres minuscules. Ce nom suit une règle : en face du sommet A se trouve le côté a. En face du sommet B se trouve le côté b et en face du sommet C le côté c. Le côté opposé est donc toujours nommé d’après le sommet : c’est le côté qui ne contient pas ce sommet.

Chaque triangle a trois angles intérieurs, que l’on note en général par les lettres grecques alpha α, bêta β et gamma γ. La somme des trois angles intérieurs doit toujours valoir 180°.

Un triangle n’a pas de diagonales, mais il a des médianes et des hauteurs.

Inégalité triangulaire

L’inégalité triangulaire est une relation importante qui est vraie dans tout triangle. La somme des longueurs de deux côtés quelconques est toujours supérieure à la longueur du troisième côté. Écrite en formules :

$$\begin{array}{rcl}a+b& >& c\\ a+c& >& b\\ b+c& >& a\end{array}$$

Que se passerait-il si cette inégalité n’était pas vraie ? C’est-à-dire si un côté était plus long que les deux autres réunis ? Le triangle ne pourrait pas exister, car ces deux côtés seraient trop courts et ne « se rejoindraient » pas.

S’il y avait égalité, c’est-à-dire si deux côtés avaient ensemble exactement la longueur du troisième, alors, en essayant de construire le triangle, les trois points seraient alignés :

L’inégalité triangulaire sert aussi dans la définition d’autres notions, souvent liées à la distance, où ce principe est le plus naturel. Si l’on parle de distances dans le monde réel, il est certain que le chemin direct (à vol d’oiseau) de Paris à Lyon est plus court que le trajet de Paris à Lille puis de Lille à Lyon.

Types de triangles

On distingue plusieurs types de triangles, en général selon la longueur des côtés et les angles.

• Un triangle équilatéral a tous ses côtés de même longueur. De plus, tous ses angles intérieurs mesurent 60°.
• Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur et le troisième côté a une longueur différente. Les côtés de même longueur s’appellent les côtés égaux, le troisième côté s’appelle la base. Les angles que les côtés égaux d’un tel triangle forment avec la base sont toujours égaux.
• Un triangle dont les trois angles sont aigus a chaque angle intérieur aigu, c’est-à-dire inférieur à 90°.
• Un triangle rectangle a exactement un angle droit, c’est-à-dire de mesure 90°. Un triangle ne peut pas avoir deux angles droits, car la somme des angles intérieurs est égale à 180° : le troisième angle devrait alors mesurer zéro, ce qui est impossible. Dans un triangle rectangle, on peut appliquer le célèbre théorème de Pythagore. Pour en savoir plus, lis l’article consacré au triangle rectangle.
• Un triangle obtus a exactement un angle obtus, c’est-à-dire de mesure supérieure à 90°. Attention encore : un triangle ne peut pas avoir deux angles supérieurs à 90°, donc les deux autres angles sont nécessairement aigus, c’est-à-dire inférieurs à 90°.