Triângulo

O triângulo é uma figura geométrica formada por três vértices ligados por três segmentos.

Descrição

Observe a figura a seguir: Na figura vemos um triângulo formado pelos vértices A, B e C; trata-se, portanto, do triângulo ABC. Encontramos aqui três lados: AB, BC, AC. Observe também que esses lados ainda recebem nomes com letras minúsculas. Essa nomenclatura segue uma regra — em frente ao vértice A temos o lado a. Em frente ao vértice B está o lado b e em frente ao vértice C está o lado c. Assim, cada vértice dá nome ao lado oposto a ele, aquele lado que não é formado por esse vértice.

Todo triângulo tem três ângulos internos, que costumamos indicar pelas letras gregas alfa α, beta β e gama γ. A soma dos três ângulos internos deve sempre dar 180 graus.

O triângulo não tem diagonais, mas tem medianas e alturas.

Desigualdade triangular

A desigualdade triangular é uma relação importante que vale no triângulo. Vale que a soma dos comprimentos de dois lados quaisquer é sempre maior que o comprimento do terceiro lado, o restante. Escrevendo isso:

$$\begin{array}{rcl}|a|+|b|& >& |c|\\ |a|+|c|& >& |b|\\ |b|+|c|& >& |a|\end{array}$$

O que aconteceria se essa desigualdade não valesse? Isto é, se um lado fosse maior que a soma dos outros dois? Não poderia surgir um triângulo, porque esses dois lados seriam curtos demais e “não alcançariam um ao outro”.

Se valesse a igualdade, isto é, se dois lados somassem exatamente o comprimento do terceiro lado, então, ao tentar desenhar o triângulo, todos os pontos ficariam sobre uma mesma reta:

A desigualdade triangular é usada também nas definições de outros conceitos, muitas vezes ligados de algum modo à distância, em que esse princípio é mais natural. Se falamos de distâncias no mundo real, certamente vale que o caminho direto (em linha reta) de São Paulo ao Rio de Janeiro é com certeza mais curto que o caminho de São Paulo a Belo Horizonte e depois de Belo Horizonte ao Rio de Janeiro.

Tipos de triângulos

Distinguimos vários tipos diferentes de triângulos, em geral conforme os comprimentos dos lados e os ângulos.

• O triângulo equilátero tem todos os lados de mesmo comprimento. Ao mesmo tempo, todos os ângulos internos medem 60 graus.
• O triângulo isósceles tem dois lados de mesmo comprimento, e o terceiro lado tem comprimento diferente. Os lados de mesmo comprimento chamam-se lados congruentes, e o terceiro lado chama-se base. Os ângulos que os lados congruentes de um triângulo assim formam com a base são sempre congruentes.
• O triângulo acutângulo tem todos os ângulos internos agudos, isto é, menores que 90 graus.
• O triângulo retângulo tem exatamente um ângulo reto, isto é, de 90 graus. Um triângulo não pode ter dois ângulos retos, porque a soma dos ângulos internos é igual a 180 — o terceiro ângulo teria então de medir zero, o que não é possível. No triângulo retângulo vale o famoso teorema de Pitágoras. Para mais informações, leia o artigo separado sobre o triângulo retângulo.
• O triângulo obtusângulo tem exatamente um ângulo obtuso, isto é, sua medida é maior que 90 graus. De novo, atenção: um triângulo não pode ter dois ângulos maiores que 90 graus, então os dois ângulos restantes têm necessariamente de ser agudos, isto é, menores que 90 graus.