유로잭팟에 당첨될 확률

유로잭팟(Eurojackpot)은 유럽의 여러 나라가 함께하는 수 맞히기 복권으로, 체코의 스포르트카나 한국의 로또와 비슷하다. 유로잭팟의 최소 보장 당첨금은 1,000만 유로이고, 최대 당첨금은 1억 2,000만 유로이다. 규칙은 스포르트카와 비슷하다.

규칙

복권의 목표는 수 50개 가운데 뽑히는 수 다섯 개를 맞히고, 그 밖에 수 12개 가운데 보조 수 두 개를 더 맞히는 것이다. 뽑힌 수 일곱 개를 모두 맞히면 1등, 즉 유로잭팟에 당첨된다. 그보다 적게 맞히면 그 아래 등수에 당첨될 수 있다. 덧붙이면, 2015년에는 체코의 누군가가 유로잭팟 1등에 당첨되었는데, 당첨금은 역대 최고인 24억 6,600만 코루나였다.

유로잭팟에 당첨될 확률

그러면 당첨될 가능성은 얼마나 될까? 먼저 뽑힐 수 있는 조합이 모두 몇 가지인지 센다. 같은 수가 두 번 뽑힐 수 없고, 수가 뽑힌 순서는 상관없다. 따라서 계산에 순열은 쓸 수 없고 조합을 써야 한다. 즉 수 50개에서 뽑힐 수 있는 다섯 수의 조합이 몇 가지인지 묻는 것이다. 이항계수로 쓰면 다음과 같다.

$${}_{50}{\mathrm{C}}_5$$

이 이항계수를 구하는 공식은 다음과 같다.

$${}_n{\mathrm{C}}_k=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

여기서 느낌표는 팩토리얼이다. 값을 대입하면 다음을 얻는다.

$${}_{50}{\mathrm{C}}_5=\frac{50!}{(50-5)!\cdot 5!}=\frac{50!}{45!\cdot 5!}$$

팩토리얼의 성질을 이용해 분자를 풀어 쓴다.

$$\frac{50!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}$$

분자와 분모에 모두 45!이 있다. 그래서 분수 전체를 45!로 약분할 수 있다.

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5!}$$

5!을 풀어 쓴다.

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}$$

모두 곱한다.

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=\frac{254251200}{120}$$

이제 나누기만 하면 된다.

$$\frac{254251200}{120}=2118760$$

즉 서로 다른 수 50개에서 뽑을 수 있는 다섯 수의 조합은 모두 2,118,760가지이다. 뽑힌 다섯 수를 맞힐 확률을 P₁이라고 하면, P₁은 이 수의 역수이다.

$$P_1=\frac{1}{2118760}$$

이제 보조 수도 맞힐 확률을 구하려면 수 12개에서 뽑을 수 있는 두 수의 조합이 몇 가지인지 세야 한다. 이번에도 이항계수로 쓸 수 있다.

$${}_{12}{\mathrm{C}}_2$$

이번에는 과정을 건너뛰고 조합의 수 계산기를 쓰면 다음을 얻는다.

$${}_{12}{\mathrm{C}}_2=66$$

즉 서로 다른 두 수의 조합은 66가지이다. 뽑힌 두 수를 맞힐 확률을 P₂라고 하면 다음과 같다.

$$P_2=\frac{1}{66}$$

유로잭팟 1등에 당첨될 전체 확률 P는 두 확률을 곱해서 얻는다.

$$P=P_1\cdot P_2=\frac{1}{2118760}\cdot \frac{1}{66}=\frac{1}{139838160}$$

유로잭팟 1등에 당첨될 가능성은 139,838,160분의 1이다. 예를 들어 체코의 인구는 1천만 명을 조금 넘는다. 체코의 누군가가 반드시 당첨되게 하려면 체코의 모든 사람이 서로 다른 복권을 13장씩 사야 한다. 그러면 추첨 뒤에 체코의 복권 한 장이 반드시 당첨된다.