조건부확률

확률을 구할 때 시행에 조건을 하나 더 붙일 수도 있다. 조건부확률의 전형적인 문제는 다음과 같다. 주사위 세 개를 던진다. 주사위 하나에서 3이 나왔을 때, 눈의 합이 7일 확률은 얼마일까?

공식 이끌어 내기

어떤 시행(예를 들어 주사위 던지기)과 서로 다른 두 사건 A, B가 있고, P(B) ≠ 0, 즉 B는 공사건이 아니라고 하자. 사건 B가 일어났을 때 사건 A가 일어날 확률을 조건부확률이라고 하고, P(A|B)로 나타낸다.

조건부확률을 구하는 공식에 차근차근 다가가 보자. 간단히 하기 위해 정사면체 주사위, 즉 1, 2, 3, 4만 나올 수 있는 주사위를 생각하자. 다음 문제를 풀어 보자. 정사면체 주사위 두 개를 던질 때, 적어도 한 주사위에서 3보다 작은 수가 나왔다면 눈의 합이 6일 확률은 얼마일까?

먼저 정사면체 주사위 두 개에서 나올 수 있는 경우를 모두 적는다. 모두 4 · 4 = 16가지이다.

$$\begin{array}{rcl}& & (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),\\ & & (4,1),(4,2),(4,3),(4,4)\end{array}$$

사건 A와 B는 무엇일까? 사건 A는 “두 주사위의 눈의 합이 6이다”이고, 사건 B는 “적어도 한 주사위에서 3보다 작은 수가 나왔다”이다. 알고 싶은 것은 조건부확률 P(A|B), 즉 사건 B가 일어났다는 것을 알 때 사건 A가 일어날 확률이다. 먼저 앞의 표에서 사건 B에도 속하는 쌍, 즉 두 수 가운데 적어도 하나가 3보다 작은 쌍만 걸러 낸다. 그러면 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rcl}& B=& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),\\ & & (4,1),(4,2)\end{array}$$

이 집합을 사실상 표본공간으로 볼 수 있다. 실제로는 두 주사위에서 4가 두 개 나올 수도 있지만, 조건 B를 붙인 것은 그런 결과는 따지지 않겠다는 뜻이다. 적어도 한 주사위에서 3보다 작은 수가 나온 결과에만 관심이 있다.

이제 남은 질문은 표본공간이 집합 B일 때 사건 A가 일어날 확률은 얼마인가이다. 조건부확률이 말하는 것은 이것뿐이다. 그래서 이 집합 B에서 합이 6인 쌍을 찾는다.

$$(2,4),(4,2)$$

이제 확률은 어떻게 구할까? 원하는 결과는 모두 2가지이고, 표본공간의 원소의 개수는 집합 B의 원소의 개수, 즉 12이다. 따라서 조건부확률은 다음과 같다.

$$P(A|B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$$

이제 이를 일반화해 보자. 집합 B를 표본공간으로 볼 수 있다고 했다. 그러면 원하는 결과의 집합은 어떻게 될까? A에 속하면서(관심 있는 사건) B에도 속하는(제약하는 조건) 결과의 집합이다. 예를 들어 정사면체 주사위 두 개의 합이 6이 되는 경우가 하나 더 있다. 두 주사위 모두 3이 나오는 경우이다. 하지만 이 결과는 조건 B, 즉 적어도 한 수가 3보다 작다는 조건을 통과하지 못한다. 그래서 이 결과는 원하는 결과에 넣지 않는다. 원하는 결과의 집합은 두 사건의 교집합 A ∩ B이다. 이것을 모두 모으면 다음 공식을 얻는다.

$$P(A|B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}.$$

이 공식을 보면 왜 P(B) ≠ 0이라고 가정했는지 알 수 있다. 이 조건을 만족하지 않으면 0으로 나누게 되고, 그러다 블랙홀이 생길지도 모른다.

앞의 공식은 모든 근원사건이 일어날 가능성이 같은 수학적 확률을 다룰 때 성립한다. 이 공식을 더 일반적인 꼴로 바꿔 쓸 수 있다.

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

풀이가 있는 예제

1. 검은 주사위와 흰 주사위 두 개를 던진다. 두 눈의 합이 7일 때 흰 주사위에서 4가 나왔을 확률은 얼마일까? 풀어 쓰면 다음과 같다. 사건 A는 “흰 주사위에서 4가 나왔다”, 사건 B(조건)는 “합이 7이다”이다. 사건 B는 합이 7인 모든 쌍, 즉 B = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}이다. 이제 A ∩ B를 구한다. 즉 B의 쌍 가운데 A에도 속하는 것, 다시 말해 흰 주사위에서 4가 나온 것은 무엇일까? 쌍이 (검은 주사위, 흰 주사위) 꼴이라고 하면 A ∩ B에 속하는 쌍은 (3, 4)뿐이다. 이제 공식에 대입하기만 하면 된다.

$$P(A|B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}=\frac{1}{6}.$$