통계의 기초

통계는 실제 자료를 조사하고 확률론의 도움을 받아 그 자료를 설명하려는 학문이다.

통계 단원

이것은 오래되어 최신 내용이 아닌 글이다. 이제 이 사이트에는 통계의 기본 개념을 소개하는 글로 시작하는 통계 단원이 따로 있다.

기본 개념

통계에서는 몇 가지 기본 개념을 쓰는데, 여기서 설명하겠다.

가장 먼저 통계 집단이 있다. 조사하려는 자료의 유한 집합이다. 자료는 일반적인 것이어서 사실상 무엇이든 될 수 있다. 한국의 평균 임금을 조사하려면 한국의 모든 사람의 집합이 통계 집단이다. 통계 집단의 원소의 개수를 집단의 크기라고 한다. 따라서 이렇게 정한 통계 집단의 크기는 한국의 인구와 같다.

다음으로 조사 대상(개체)이라는 개념이 있다. 통계 집단의 구체적인 원소 하나이다. 이 경우 조사 대상은 구체적인 사람 한 명이다.

마지막으로 변량(통계적 특성)이 있다. 측정하려는 것이다. 이 예에서는 임금이 변량이다. 변량은 질적이거나 양적이다. 양적 변량은 수로 나타낼 수 있는 것(예를 들어 임금, 키, 자녀 수 등)이고, 질적 변량은 말로 나타내는 것(색, 예/아니요, 직업 등)이다.

도수

도수에는 (절대)도수와 상대도수가 있고, 통계 집단에서 변량의 각 값이 몇 번 나오는지를 나타낸다. 도수는 그 횟수 자체이고, 상대도수는 집단의 전체 원소 수에 대한 비율이다.

도수를 셀 때는 변량을 적용해야 한다는 것이 중요하다. 조사 대상의 도수를 세려고 하면 반드시 0이나 1이 나오기 때문이다. 통계 집단은 집합이고, 집합에는 같은 원소가 여러 번 들어 있을 수 없다.

그래서 변량의 값 z의 도수는 통계 집단 S에 값 z가 나오는 횟수이다. 예를 들어 학생이 열 명인 반이 있다. 학생들은 성적표에 수학 성적으로 1등급부터 5등급 가운데 하나를 받았다(1등급이 가장 좋다). 성적은 다음 표와 같다.

$$\begin{array}{cccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ 2& 5& 3& 2& 1& 1& 2& 4& 1& 3\end{array}$$

참고: 이 예의 통계 집단은 반 학생 열 명으로, 대략 다음과 같다.

$$S=\{\text{민준},\text{서연},\text{지호},\dots \}$$

간단하게 하려고 표의 첫째 줄에는 학생의 번호를 적었다. 즉 첫째 줄은 조사 대상, 다시 말해 통계 집단의 원소이다. 둘째 줄에는 변량의 값, 즉 각 학생의 “수학 최종 성적” 값을 적었다.

변량(성적표의 등급) z = 3의 도수는 2이다. 3등급을 받은 학생은 두 명(“학생” 3번과 10번)뿐이다. z = 1의 도수는 3이다(“학생” 5번, 6번, 9번).

상대도수는 통계 집단에서 변량의 값 가운데 몇 퍼센트가 값 z와 같은지를 나타낸다. 변량 z의 상대도수는 다음과 같이 구한다.

$$r=\frac{z_a}{|S|},$$

여기서 z_a는 변량 z의 도수이고 |S|는 통계 집단의 크기, 즉 원소의 개수이다. 따라서 3등급의 상대도수는 다음과 같다.

$$r_3=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.$$

반에 학생이 열 명이므로 집단의 크기는 10이다. 100을 곱하면 퍼센트로 나타낼 수 있으므로 20%이다. 1등급의 상대도수는 다음과 같다.

$$r_1=\frac{3}{10}.$$

산술평균

산술평균, 흔히 그냥 평균은 통계 집단의 모든 값의 평균이다. 여기서 값이란 변량을 적용한 뒤의 값을 말한다. 평균은 모든 값을 더한 다음 집단의 값의 개수로 나누어 구한다. 대략 다음과 같다.

$$p_a=\frac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

시그마를 써서 나타낸 식도 덧붙였다. 이쪽이 더 읽기 쉬울 수도 있다. 하지만 앞의 분수 꼴로 충분하다. 값 x는 집단의 모든 값을 나타낸다.

예: 앞의 표의 자료로 학생 한 명당 평균 등급을 구해 보자.

$$p_a=\frac{2+5+3+2+1+1+2+4+1+3}{10}=\frac{24}{10}=2.4$$

이 반의 평균 등급은 2.4이다. 보다시피 산술평균은 실제로는 있을 수 없는 값이 될 수도 있다. 2.4등급이라는 성적은 줄 수 없다.

산술평균은 자료의 일부가 나머지와 크게 다른 값을 가질 때도 쓰기 어렵다. 값이 1, 3, 2, 5, 4, 2, 75인 집단이 있으면 산술평균은 다음과 같다.

$$p_a=\frac{1+3+2+5+4+2+75}{7}\fallingdotseq 13.14.$$

결과는 집단의 모든 값과 멀리 떨어져 있다. 처음 여섯 수보다 몇 배 크고 마지막 값보다는 몇 배 작다. 예를 들어 뒤에서 설명할 중앙값이 이 문제를 해결할 수 있다. 이제 왜 사람들의 3분의 2가 평균 임금에 못 미치는지 알 것이다. 아주 높은 임금을 받는 적은 수의 사람들이 산술평균을 끌어올리기 때문이다.

기하평균

기하평균은 산술평균과 비슷하게 구하지만, 더하는 대신 곱하고 나누는 대신 거듭제곱근을 구한다. 따라서 기하평균은 다음과 같이 구한다.

$$p_g=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot \dots \cdot x_n}=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

기하평균은 성장의 지표로 쓸 수 있다. 예를 들어 어떤 제품의 값이 한 해에 10%, 다음 해에 15%, 그다음 해에 5% 올랐다고 하자. 그러면 처음 값 c는 3년 뒤에 다음과 같다.

$$1.1\cdot 1.15\cdot 1.05c=1.32825c.$$

이 계수들의 기하평균은 다음과 같다.

$$p_g=\sqrt[3]{1.1\cdot 1.15\cdot 1.05}\fallingdotseq 1.0992419$$

무슨 뜻일까? 해마다 값에 1.0992419를 곱하면(즉 약 9.92%씩 오르면) 최종 값이 같아진다는 뜻이다.

$${1.0992419}^3\fallingdotseq 1.32825$$

최빈값과 중앙값

변량의 최빈값은 도수가 가장 큰 값이고, Mod(x)로 나타낸다. 성적의 예로 돌아가면 최빈값은 1과 2이다. 가장 자주 나오고, 둘 다 도수가 3이다.

중앙값은 한가운데에 있는 값이고, Med(x)로 나타낸다. 값을 감소하지 않는 수열로 늘어놓을 수 있으면,

$$x_1\le x_2\le x_3\le \dots \le x_n,$$

중앙값은 이 수열의 한가운데에 있는 값이다. 한가운데 값은 수열의 항의 개수가 홀수인지 짝수인지에 따라 다르다. 홀수이면 중앙값은 다음 자리의 항이다.

$$\text{Med}(x)=x_{\frac{n+1}{2}}$$

수열의 항의 개수가 짝수이면 정확히 한가운데에 있는 항이 없다(예: 수열 1, 2, 3, 4에는 가운데 항이 없다). 그래서 가운데 두 값의 평균(2와 3의 평균)을 구한다. 짝수 n에 대한 공식은 다음과 같다.

$$\text{Med}(x)=\frac{x_{n/2}+x_{(n+2)/2}}{2}$$

산술평균을 잘못 쓴 예로 돌아가자. 값의 집단은 s=1, 3, 2, 5, 4, 2, 75였다. 최빈값은 2이다. 되풀이되는 수는 2뿐이기 때문이다. 중앙값을 구하려면 수를 수열로 늘어놓는다.

$$a_i=1,2,2,3,4,5,75.$$

수열의 항은 일곱 개이므로 가운데 항은 a₄이고, 그 값은 3이다.