6/49 복권(스포르트카)에 당첨될 확률
체코의 복권 스포르트카(Sportka)에 당첨될 확률은 어떻게 구할까? 당첨될 가능성을 높일 수 있을까? 알아보자. 스포르트카는 추첨기에 1부터 49까지의 수 49개가 있고, 추첨에서 이 가운데 무작위로 수 여섯 개를 뽑는다. 복권을 사는 사람은 뽑힐 수 여섯 개를 맞히려고 한다. 뽑힌 수 여섯 개를 모두 맞힐 확률은 얼마일까? (한국의 로또 6/45도 같은 방식이고, 45개에서 6개를 뽑는다.)
먼저 뽑힐 수 있는 조합이 모두 몇 가지인지 센다. 한 번의 추첨에서 같은 수가 두 번 뽑힐 수 없다는 것이 중요하다. 즉 1, 2, 3, 4, 5, 5가 뽑힐 수는 없다. 두 번째로 중요한 것은 수가 뽑힌 순서가 상관없다는 것이다. 즉 1, 2, 3, 4, 5, 6의 순서로 뽑히든 다른 때 6, 5, 4, 3, 2, 1의 순서로 뽑히든 같은 수의 조합이고, 이 수를 골랐다면 어느 쪽이든 당첨된다.
따라서 순서가 중요한 순열은 쓸 수 없고, 순서가 상관없는 조합을 써서 계산한다. 즉 49개에서 수 여섯 개를 고르는 조합이 몇 가지인지 묻는 것이다. 이항계수로 쓰면 다음과 같다.
이 이항계수를 구하는 공식은 다음과 같다.
여기서 느낌표는 팩토리얼이다. 값을 대입하면 다음을 얻는다.
분자를 풀어 쓸 수 있다.
이제 43!을 약분할 수 있다.
이제 실제로 계산하기만 하면 된다.
이는 다음과 같다.
즉 걸 수 있는 서로 다른 조합은 모두 13,983,816가지(거의 1,400만 가지)이다. (같은 방법으로 계산하면 한국의 로또 6/45는 8,145,060가지이다.)
1등에 당첨될 확률
뽑힌 수 여섯 개를 모두 맞히면 1등에 당첨된다. 서로 다른 조합이 모두 13,983,816가지이므로 당첨될 가능성은 13,983,816분의 1이고, 확률은 다음과 같다.
퍼센트로 나타내려면 확률에 100을 곱하면 된다. 즉 소수점을 오른쪽으로 두 자리 옮기면 0.00000715%이다. 그다지 큰 확률은 아니다. 예를 들어 체코의 인구는 1천만 명을 조금 넘는다. 체코의 모든 사람이 저마다 다른 수로 스포르트카를 산다고 해도, 아무도 걸지 않은 조합이 300만 가지 남고, 결국 아무도 당첨되지 않을 가능성이 약 5분의 1이다.
스포르트카에 당첨될 가능성을 높이려면?
방법이 없다. 불가능하다. 추첨하는 사람을 매수하지 않는 한 말이다. 여섯 수의 조합은 모두 뽑힐 가능성이 같다. 1, 2, 3, 4, 5, 6이 뽑힐 가능성은 5, 14, 15, 38, 41, 48이 뽑힐 가능성과 같다. 추첨기는 1, 2, 3, 4, 5, 6처럼 보기 좋게 이어진 수와 5, 14, 15, 38, 41, 48처럼 무작위로 보이는 수를 전혀 구별하지 않는다. 연속한 수를 더 좋아하는 것은 사람뿐이다. 마찬가지로 추첨기는 전에 뽑힌 수를 기억하지 않는다. 지난주에 5, 14, 15, 38, 41, 48이 뽑혔다고 해서 이 여섯 수가 다음 주에 다시 뽑힐 확률이 달라지지는 않는다.
복권을 살 때 도움이 되는 방법은 두 가지이다. 첫째는 다른 사람들이 많이 고르는 수를 고르지 않는 것이다. 이렇게 해도 당첨될 가능성은 달라지지 않는다. 여섯 수의 조합을 한 사람이 고르든 백 명이 고르든 상관없기 때문이다. 하지만 당첨되었을 때 당첨금을 나누는 사람이 적어진다. 가장 좋은 것은 완전히 무작위로 수를 고르는 것이다. 누군가 같은 무작위 조합을 고를 가능성은 낮다. 하지만 예를 들어 지난 추첨에서 나온 수를 그대로 고르면, 다른 사람들도 같은 전략을 썼을 가능성이 커서 당첨되더라도 당첨금을 나눠야 할 수 있다.
둘째는 복권을 사지 않고 그 돈을 더 합리적인 곳에 쓰는 것이다.
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