여사건

어떤 사건의 확률을 구할 때 여사건을 이용하면 편리한 경우가 있다. 사건 A의 여사건은 일어날 수 있는 결과 가운데 사건 A에 들어 있지 않은 모든 결과로 이루어진 사건 A^C이다.

정의

시행과 사건의 정의는 확률에서 설명했다. 간단히 복습하자. 예를 들어 주사위를 던지는 것이 시행이다. 일어날 수 있는 모든 결과의 집합, 즉 표본공간은 주사위를 던질 때 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}이다. 사건은 S의 부분집합이고, 예를 들어 “주사위에서 홀수가 나온다”, 즉 A = {1, 3, 5}가 될 수 있다.

앞의 사건 A “주사위에서 홀수가 나온다”, 즉 A = {1, 3, 5}를 계속 예로 들면, A의 여사건은 A^C = S ∖ A이다. 즉 S에는 있지만 A에는 없는 나머지 모든 결과이다. 이 경우 “주사위에서 홀수가 나온다”의 여사건은 “주사위에서 짝수가 나온다”이다. “2나 5가 나온다”의 여사건은 “1, 3, 4, 6 가운데 하나가 나온다”이다.

집합의 용어로 말하면 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}이고 사건 A = {1, 2}(“3보다 작은 수가 나온다”)이면 A^C = S ∖ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∖ {1, 2} = {3, 4, 5, 6}이다. 말로 하면 “2보다 큰 수가 나온다”이다.

여사건의 확률에는 간단한 관계가 성립한다. 사건 A의 확률이 25%이면 사건 A^C의 확률은 얼마일까? 사실상 사건 A가 일어나지 않을 확률을 묻는 것이다. 사건 A는 25%의 확률로 일어나므로 사건 A가 일어나지 않을 확률은 100 − 25 = 75%이다. 이 관계는 언제나 성립하므로 여사건 A^C의 확률은 1 − P(A)라고 말할 수 있다.

$$P(A^C)=1-P(A)$$

풀이가 있는 예제

1. 주사위 두 개를 던질 때 두 주사위에서 모두 6이 나오지는 않을 확률은 얼마일까? 확률에서 주사위 두 개를 던질 때 나올 수 있는 경우가 모두 36가지라는 것을 계산했다. 이제 그 가운데 6이 두 개 나오지 않는 경우가 몇 가지인지 세야 한다. 거꾸로 생각할 수도 있다. 6이 두 개 나오는 쌍이 몇 가지인지 세어 이 사건의 확률을 구한 다음 1에서 빼는 것이다.

   6이 두 개 나오는 쌍은 (6, 6) 하나뿐이므로 이 사건 A의 확률은 다음과 같다.

   $$P(A)=\frac{1}{36}$$

   여사건 A^C, 즉 “두 개 모두 6이 나오지는 않는다”의 확률은 다음과 같다.

   $$P(A^C)=1-P(A)=1-\frac{1}{36}=\frac{35}{36}=97.2222\dots \mathrm{\%}$$

2. 주사위 세 개를 던질 때 6이 적어도 하나 나올 확률은 얼마일까? 이번에도 직접 풀어서 6이 하나, 둘, 셋 나오는 경우를 모두 적을 수도 있다. 하지만 다른 방향에서 접근해 여사건, 즉 “6이 하나도 나오지 않는다”를 계산할 수도 있다. 먼저 나올 수 있는 경우가 모두 몇 가지인지 센다. 주사위가 세 개이고 각 주사위에서 1부터 6까지 나올 수 있으므로 경우는 모두 6³ = 216가지이다.

   이제 6이 하나도 없는 경우를 세야 한다. 각 주사위에서 1부터 5까지의 수가 나와야 하므로 6을 포함하지 않는 경우는 모두 5³ = 125가지이다. 이제 공식에 대입하기만 하면 된다.

   $$P(A)=\frac{125}{216}=57.87\mathrm{\%}$$

   이것은 사건 A, 즉 “6이 하나도 나오지 않는다”의 확률이다. 알고 싶은 것은 여사건 “6이 적어도 하나 나온다”의 확률이다. 그래서 공식에 대입한다.

   $$P(A^C)=1-P(A)=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}=42.1296\mathrm{\%}$$

3. 학생이 수학 시험에서 문제 30개 가운데 3개를 뽑는다. 그 가운데 10개는 대수, 15개는 해석, 5개는 기하 문제이다. 같은 분야의 문제를 적어도 두 개 뽑을 확률은 얼마일까? 이번에도 여사건, 즉 학생이 분야마다 문제를 하나씩 뽑을 확률을 이용하면 더 쉽게 풀 수 있다.

   먼저 학생이 뽑을 수 있는 서로 다른 세 문제의 조합이 몇 가지인지 센다. 이를 위해 조합이 필요하다. 문제가 모두 30개이고 그 가운데 3개를 뽑으며 순서는 상관없다. 그러면 다음 이항계수를 얻는다.

   $${}_{30}{\mathrm{C}}_3=4060$$

   다음으로 학생이 분야마다 한 문제씩 뽑는 경우는 몇 가지일까? 곱의 법칙을 쓰면 모두 10 · 15 · 5 = 750가지이다. 마지막으로 확률 공식에 대입한다.

   $$P(A)=\frac{750}{4060}=18.47\mathrm{\%}$$

   하지만 구하려는 것은 여사건의 확률이므로 이 결과를 1에서 빼기만 하면 된다.

   $$P(A^C)=1-\frac{750}{4060}=\frac{3310}{4060}=81.53\mathrm{\%}$$