확률

어떤 사건의 확률은 그 사건이 일어날 가능성이 얼마나 되는지를 알려 준다. 전형적인 예는 보통의 주사위를 던지는 것이다. “5가 나올 확률은 얼마일까?”라고 물을 수 있다. 확률은 구간 [0, 1]의 수로 나타내거나 퍼센트, 즉 0%부터 100%까지로 나타낸다.

관련된 정의

같은 조건에서 되풀이할 수 있고 그 결과가 우연에 따라 달라지는 실험이나 관찰을 시행이라고 한다. 예를 들어 주사위를 던지는 것이나 복권을 추첨하는 것은 시행이다. 다음으로 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과의 집합이 필요하다. 이것을 표본공간이라고 한다. 예를 들어 주사위에서는 1부터 6까지의 수가 나올 수 있으므로, 주사위의 표본공간은 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}이다. 복권이라면 나올 수 있는 모든 조합이 표본공간이다.

표본공간의 부분집합 A ⊆ S를 사건이라고 한다. 예를 들어 사건 “주사위에서 짝수가 나온다”는 A = {2, 4, 6}으로 쓴다. 사건 “주사위에서 5보다 큰 수가 나온다”는 A = {6}으로 쓰고, 다른 사건도 마찬가지이다. 주사위를 던졌을 때(즉 시행을 했을 때) 수 x가 나왔다면 x ∈ A일 때 사건이 일어났다고 하고, 그렇지 않으면 사건이 일어나지 않았다고 한다. 사건 “주사위에서 짝수가 나온다”에서 x = 2가 나오면 x ∈ A, 즉 2 ∈ {2, 4, 6}이므로 사건이 일어난 것이다.

특별한 사건이 두 가지 있다. 반드시 일어나는 사건(전사건)과 절대로 일어나지 않는 사건이다. 반드시 일어나는 사건은 모든 시행에서 일어나는 사건이고, A = S라는 뜻이다. 주사위에서는 사건 “7보다 작은 수가 나온다”가 그렇다. 이런 수는 반드시 나온다. 그 반대는 절대로 일어나지 않는 사건, 즉 공사건으로, A = ∅이고 말로 하면 예를 들어 “주사위에서 화분이 나온다”이다. 주사위를 던지다가 화분이 탁자에서 떨어질 수는 있지만, 주사위 눈에 화분이 나올 리는 없다. 주사위에는 1부터 6까지의 수밖에 없기 때문이다.

사건의 확률

사건의 확률은 그 사건이 일어나기를 얼마나 기대할 수 있는지 알려 준다. 주사위에서 5가 나오는 경우보다 짝수가 나오는 경우가 더 많다는 것은 다들 짐작할 것이다. 확률은 이 짐작을 정확한 수로 바꾸어 준다. 먼저 필요한 가정을 세우자.

시행이 다음을 만족한다고 하자.

• 일어날 수 있는 결과가 유한 개이다(즉 S가 유한집합이다).
• 두 결과가 동시에 나올 수 없다(즉 주사위에서 3과 6이 동시에 나올 수 없다).
• 모든 결과가 일어날 가능성이 같다(즉 주사위에서 4가 나올 가능성은 6이나 1이 나올 가능성과 같다).

처음 두 조건은 꽤 자연스럽고, 마지막 조건은 조금 제한적이지만 당분간은 이것으로 충분하다. 그러면 사건 A의 확률을 P(A)로 나타낼 때 다음과 같다고 할 수 있다.

$$P(A)=\frac{|A|}{|S|}.$$

다시 말해 원하는 결과의 수를 모든 결과의 수로 나눈 것이다. (위 공식의 세로선은 집합의 원소의 개수를 뜻한다. 한국의 교과서에서는 $\frac{n(A)}{n(S)}$로 쓴다.) 따라서 주사위에서 짝수가 나올 확률은 다음과 같다.

$$P(\text{짝수})=\frac{|\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0.5.$$

확률은 퍼센트로 나타내는 경우가 많다. 구한 확률에 100을 곱하고 퍼센트 기호를 붙이면 된다. 0.5 · 100% = 50%이다. 확률이 50%라는 것은 짝수가 나올 가능성과 나오지 않을 가능성이 같다는 뜻이다. 주사위에 짝수 세 개와 홀수 세 개가 있으니 이치에 맞는다.

반드시 일어나는 사건의 확률은 1이고, 절대로 일어나지 않는 사건의 확률은 0이다. 왜 그럴까? 반드시 일어나는 사건 J에 대해 J = S이고, 절대로 일어나지 않는 사건 N에 대해 N = ∅이라고 했다. 이 사건들을 공식에 대입하면 다음을 얻는다.

$$P(J)=\frac{|S|}{|S|}=1;P(N)=\frac{|\mathrm{\varnothing }|}{|S|}=\frac{0}{|S|}=0.$$

풀이가 있는 예제

1. 주사위에서 5가 나올 확률은 얼마일까? 간단하다. 원하는 결과의 집합은 A = {5}뿐이고, 모든 결과의 집합은 이번에도 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}이다. 공식에 대입한다.

   $$P(A)=\frac{|\{5\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{1}{6}=16.666\dots \mathrm{\%}$$

2. 주사위에서 3으로 나누어떨어지는 수가 나올 확률은 얼마일까? 주사위의 어느 수가 3으로 나누어떨어지는지 알아야 한다. 3과 6뿐이므로 원하는 결과의 집합은 B = {3, 6}이다. 그다음은 늘 하던 대로 한다.

   $$P(B)=\frac{|\{3,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}=33.333\dots \mathrm{\%}$$

3. 이번에는 주사위 두 개를 동시에 던져 보자. 두 주사위 모두 6이 나올 확률은 얼마일까? 먼저 S, 즉 모든 결과의 집합을 구해야 한다. 일어날 수 있는 경우를 모두 세어야 한다. 첫 번째 주사위에서 1이 나오면 두 번째 주사위에서는 1부터 6까지 나올 수 있다. 이것으로 여섯 가지를 찾았다. 첫 번째 주사위에서 2가 나오면 두 번째 주사위에서 이번에도 1부터 6까지 나올 수 있다. 이것으로 여섯 가지를 더 찾았다. 첫 번째 주사위에서 나올 수 있는 모든 수에 대해 이렇게 한다. 모든 경우는 다음과 같다.

   $$\begin{array}{rcl}& S=& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\ & & \dots \\ & & (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\end{array}$$

   줄이 모두 여섯 개이고 줄마다 여섯 가지가 있다. 모두 6 · 6 = 36가지가 주사위에서 나올 수 있다. 그 가운데 원하는 결과의 집합에 들어 있는 것은 몇 가지일까? 6이 두 개 나와야 하므로 (6, 6) 한 가지뿐이다. 따라서 확률은 다음과 같다.

   $$P(C)=\frac{|\{(6,6)\}|}{|S|}=\frac{1}{36}=2.777\dots \mathrm{\%}$$

4. 주사위 두 개를 던질 때 두 주사위에서 같은 수가 나올 확률은 얼마일까? 모든 결과의 수는 앞의 예제처럼 여전히 36이다. 그러면 원하는 결과는 몇 가지일까? 두 주사위에서 같은 수가 나오는 경우는 여섯 가지뿐이다. D = {(1, 1), (2, 2), …, (6, 6)}이다. 공식에 대입한다.

   $$P(D)=\frac{|D|}{|S|}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}=16.666\dots \mathrm{\%}$$

5. 흰 주사위와 검은 주사위 두 개를 던질 때, 흰 주사위에서 3, 검은 주사위에서 5가 나올 확률은 얼마일까? S의 원소의 개수는 여전히 36이다. 원하는 결과의 집합 E는 어떻게 생겼을까? (3, 5) 한 가지만 들어 있으므로 확률은 다음과 같다.

   $$P(E)=\frac{|E|}{|S|}=\frac{1}{36}=2.777\dots \mathrm{\%}$$

6. 흰 주사위와 검은 주사위 두 개를 던질 때, 3과 5가 나올 확률은 얼마일까? 앞의 예제와 비슷하지만, 3이 흰 주사위에서, 5가 검은 주사위에서 나와야 한다는 조건은 없다. 한 주사위에서 3이 나오고 다른 주사위에서 5가 나오면 된다. 그래서 경우가 더 많다. (3, 5)뿐 아니라 (5, 3)도 있다. 따라서 이 사건 F의 확률은 다음과 같다.

   $$P(F)=\frac{|F|}{|S|}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}=5.555\dots \mathrm{\%}$$

7. 주사위 두 개를 던질 때 6이 적어도 하나 나올 확률은 얼마일까? 차근차근 생각하자. 첫 번째 주사위에서 6이 나오면 두 번째 주사위에서는 1부터 5까지 나올 수 있다. 다섯 가지이다. 두 번째 주사위에서 6이 나오면 첫 번째 주사위에서는 1부터 5까지 나올 수 있다. 다섯 가지가 더 있다. 마지막으로 두 주사위 모두 6이 나올 수 있다. 한 가지가 더 있다. 모두 5 + 5 + 1 = 11가지이다. 원하는 결과의 집합 G는 G = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)}이다. 확률은 다음과 같다.

   $$P(G)=\frac{|G|}{|S|}=\frac{11}{36}=30.555\dots \mathrm{\%}$$

8. 한 반에 학생이 30명 있다. 역사 선생님이 수업 시간마다 학생 두 명에게 질문하고, 아직 아무도 질문을 받지 않았다면, 민준이가 질문을 받을 확률은 얼마일까? 확률을 구하려면 서로 다른 학생 두 명의 쌍이 몇 가지인지, 그리고 그 가운데 민준이가 들어 있는 쌍이 몇 가지인지 알아야 한다. 선생님이 학생을 부르는 순서는 상관없으므로 조합을 쓴다.

   이제 간단하다. 학생이 모두 30명이고, 서로 다른 두 명의 쌍을 몇 가지 만들 수 있는지 묻는 것이다. 그러면 다음 이항계수를 얻는다.

   $${}_{30}{\mathrm{C}}_2=435$$

   그러면 민준이가 들어 있는 쌍은 몇 가지일까? 둘 가운데 한 명이 민준이라면 민준이와 짝이 될 수 있는 학생은 모두 29명이 남는다(자기 자신과는 짝이 될 수 없으므로 30-1=29이다). 이제 모든 경우의 수와 원하는 경우의 수를 알았으므로 공식에 대입한다.

   $$P(H)=\frac{29}{435}=0.0666\dots =6.666\dots \mathrm{\%}$$

   참고: 모든 쌍의 수는 조합 없이도 구할 수 있다. 30명인 반에서 모든 쌍을 어떻게 만들 수 있을까? 학생 한 명을 골라서 나머지 학생을 차례로 짝지어 주면 된다. 예를 들어 민호를 골라 나머지 학생을 모두 짝지어 주면 쌍이 29개 생긴다. 모든 학생, 즉 30명 모두에 대해 이렇게 한다. 그러면 모두 30 · 29 = 870개의 쌍을 얻는다. 하지만 쌍마다 두 번씩 들어 있다. 한 번은 (민호, 서연), 또 한 번은 (서연, 민호)로 들어 있다(민호가 나머지 학생을 짝지어 받은 쪽이었는지, 서연이에게 짝지어진 쪽이었는지에 따라). 그래서 이 결과를 2로 나누면 최종 결과를 얻는다. 870 / 2 = 435이다.

9. 신발 열두 켤레가 들어 있는 신발장에서 신발 세 짝을 꺼낼 때 세 짝 모두 왼발용일 확률은 얼마일까? 살면서 한 번쯤은 꼭 알고 싶었을 법한 문제이다. 먼저 신발장에서 꺼낼 수 있는 세 짝의 조합이 모두 몇 가지인지 센다. 신발을 꺼내는 순서는 상관없으므로 조합이 필요하다. 신발은 모두 24짝이고 3짝을 꺼내려고 한다. 그러면 다음 이항계수를 얻는다.

   $${}_{24}{\mathrm{C}}_3=2024$$

   즉 신발장에서 꺼낼 수 있는 신발 세 짝의 조합은 모두 2024가지이다. 이제 원하는 조합, 즉 왼발용 신발로만 이루어진 세 짝의 조합을 세야 한다. 신발장에는 왼발용 신발이 모두 12짝 있다. 이 12짝에서 만들 수 있는 조합의 수만 구하면 된다. 이것도 이항계수가 된다.

   $${}_{12}{\mathrm{C}}_3=220$$

   즉 왼발용 신발로만 이루어진 조합은 220가지이다. 필요한 것은 이것이 전부이고, 이제 공식에 대입하기만 하면 된다.

   $$P(I)=\frac{220}{2024}=0.108695\dots =10.8695\dots \mathrm{\%}$$

   즉 신발 세 짝을 꺼낼 때 모두 왼발용일 확률은 약 10%이다.