파스칼의 삼각형

파스칼의 삼각형은 수로 이루어져 있고, 두 수 아래에 있는 수는 그 두 수의 합과 같다. 파스칼의 삼각형을 직접 만들어 보고, 어디에 쓸 수 있는지 알아보자.

파스칼의 삼각형을 만드는 방법

삼각형의 양옆에는 1만 쓰고, 안쪽은 일단 물음표로 채운다.

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & ?& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

이제 첫 번째 물음표를 계산한다. 그 위의 두 수를 더하면 1 + 1 = 2를 얻는다.

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

다음 행의 물음표도 같은 방법으로 계산한다. 먼저 1 + 2 = 3을 얻는다.

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

이어서 2 + 1 = 3을 얻는다.

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

이렇게 계속하면 행이 하나 늘어날 때마다 파스칼의 삼각형이 조금씩 더 완성된다.

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

물론 파스칼의 삼각형은 끝이 없으며, 행을 계속 더 만들 수 있다. 하지만 언제나 양 끝에는 1이 있고, 안쪽에는 바로 위의 두 수를 더해서 생긴 수가 있다. 예를 들어 마지막 행의 15는 그 위에 있는 5와 10을 더해서 생긴 수이다.

파스칼의 삼각형의 기본 성질

첫 번째 기본 성질은 이미 말했다. 삼각형의 양옆에는 항상 1이 있다.

$$\begin{array}{}& & & & & & & \boxed{\text{1}}& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & \boxed{\text{1}}& & 3& & 3& & \boxed{\text{1}}& & & \\ & & & \boxed{\text{1}}& & 4& & 6& & 4& & \boxed{\text{1}}& & \\ & & \boxed{\text{1}}& & 5& & 10& & 10& & 5& & \boxed{\text{1}}& \\ & \boxed{\text{1}}& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & \boxed{\text{1}}& \end{array}$$

“두 번째 줄”에는 항상 모든 자연수가 차례로 있다.

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & \boxed{\text{3}}& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & \boxed{\text{4}}& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & \boxed{\text{6}}& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

그런데 파스칼의 삼각형이 좌우대칭이라는 것을 눈치챘는가? 각 행은 왼쪽에서 오른쪽으로 읽든 오른쪽에서 왼쪽으로 읽든 똑같다.

삼각수

세 번째 줄에는 1, 3, 6, 10, 15…가 있다.

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & \boxed{\text{3}}& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & \boxed{\text{6}}& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & \boxed{\text{10}}& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & \boxed{\text{15}}& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

이 수들은 무엇이 흥미로울까? 이 수들을 삼각수라고 한다. 원 여러 개를 삼각형 모양으로 쌓는다고 생각해 보자. 원이 몇 개 필요할까? 다음 그림을 살펴보자.

한 변에 원이 1개인 삼각형에는 원이 1개 필요하다. 한 변에 2개이면 원이 3개, 3개이면 6개, 4개이면 10개 필요하다. 필요한 원의 개수는 항상 삼각수이고, 이 수는 파스칼의 삼각형에서 찾을 수 있다.

행의 합

파스칼의 삼각형의 각 행을 더해 보면 어떻게 될까?

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & & =1\\ & & & & & & 1& & 1& & & & & & =2\\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & & =4\\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & & =8\\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & & =16\\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& & =32\\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1& =64\end{array}$$

각 행의 합은 앞 행의 합의 두 배임을 알 수 있다. 따라서 모든 합은 2의 거듭제곱이다. 맨 위 행을 0번째 행이라고 하면, 파스칼의 삼각형의 n번째 행의 합은 2ⁿ이라고 쓸 수 있다.

소수

삼각형의 맨 위 행을 0번째 행이라고 하자. 그러면 n이 소수일 때 n번째 행의 모든 수(양 끝의 1은 제외)는 n으로 나누어떨어진다.

예를 들어 n = 5를 생각하자. 5는 소수이다. 5번째 행은 다음과 같다.

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{5}}& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

표시한 수는 모두 5로 나누어떨어진다.

이항정리

(a + b)²과 (a + b)³을 전개하는 공식은 이미 알고 있을 것이다.

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

각 항의 계수가 파스칼의 삼각형의 수와 같다는 것을 알 수 있다. 예를 들어 다음 식을 보자.

$$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

먼저 잘 보이도록 a³과 b³ 앞에 1을 곱해 적는다.

$$1a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+1b^3$$

이제 각 항에 곱해진 계수가 파스칼의 삼각형의 세 번째 행(맨 위 행을 0번째 행으로 셀 때)과 같다는 것을 알 수 있다.

$$\boxed{\text{1}}{a}^3+\boxed{\text{3}}{a}^{2}b+\boxed{\text{3}}a{b}^2+\boxed{\text{1}}{b}^3$$

이 현상은 이항정리를 다루는 글에서 따로 자세히 설명한다.