자연수

자연수는 일상에서 가장 자주 만나는 수이다. 양의 정수, 즉 1, 2, 3, 4, …이다.

기호

자연수는 양의 정수 1, 2, 3, 4, …를 원소로 하는 집합을 이룬다. 이 집합은 보통 첫 세로선을 겹쳐 그은 문자 N, 즉 ℕ으로 나타낸다. 영어 “naturals”에서 왔다.

자연수의 집합에 0도 들어간다고 보는 경우도 있다. 구별해야 할 때는 보통 0이 없는 집합을 그냥 ℕ으로, 0을 포함하는 집합을 아래 첨자를 붙여 ℕ₀으로 나타낸다. 0이 없다는 것을 강조하려고 플러스를 붙인 ℕ⁺를 쓰기도 한다. 한국 교과서에서는 자연수에 0을 넣지 않는다.

자연수는 무엇보다 개수를 셀 때(“집에 의자가 세 개 있다”, “공원에 벤치가 서른 개 있다” 등)와 순서를 나타낼 때(“달에 간 첫 번째 사람”, “캐나다는 세계에서 두 번째로 큰 나라이다” 등) 쓴다.

성질

자연수에는 몇 가지 흥미로운 성질이 있다.

1. 자연수의 집합은 무한집합이지만 셀 수 있는 집합이어서 모든 자연수를 수열로 늘어놓을 수 있다.

• 자연수는 덧셈과 곱셈에 대하여 닫혀 있다. 즉 어떤 두 자연수를 곱하거나 더해도 다시 자연수가 된다.
• 뺄셈에 대하여는 닫혀 있지 않다. 작은 수에서 큰 수를 빼면 음수가 되기 때문이다.
• 마찬가지로 나눗셈에 대하여도 닫혀 있지 않다. 예를 들어 7/2는 자연수가 아니다.

나머지가 있는 나눗셈

앞 절에서 자연수는 나눗셈에 대하여 닫혀 있지 않다고 했다. 하지만 누구나 아는 나머지가 있는 나눗셈을 정의할 수 있다. 7/2를 계산하면 3.5가 나온다. 나머지가 있는 나눗셈을 하면 몫 3과 나머지 1을 얻는다. 즉 3 · 2에 나머지를 더하면 다시 7이 된다. 3 · 2 + 1 = 7이다.

자연수는 이 연산에 대하여도 닫혀 있지 않지만, 0을 포함한 자연수는 닫혀 있다. 즉 몫과 나머지는 모두 집합 ℕ₀에 들어 있다.

나머지가 있는 나눗셈의 정의는 다음과 같다.

$$a=bq+r;a,q,r\in {\mathbb{N}}_0,b\in \mathbb{N},r<b$$

이 정의에서는 $a÷b$를 계산했고, 수 r을 나머지, q를 몫이라고 한다. 조건은 무엇을 뜻할까? 0을 포함한 자연수를 다루지만, 0으로는 나눌 수 없으므로 b는 0이 없는 집합에서 고른다.

예를 들어 19÷5라면 a = 19, b = 5이다. 나누면 다음과 같다.

$$19=5\cdot 3+4$$

즉 몫은 q = 3, 나머지는 r = 4이다.

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