분배법칙

분배법칙은 덧셈과 곱셈 같은 두 이항연산 사이의 성질이다. 곱셈과 덧셈의 경우 분배법칙은 “괄호를 전개할 수 있다”는 뜻이다. 예를 들어 다음 식이 있으면

$$2\cdot (3+4)$$

괄호를 전개해서 다른 식을 얻을 수 있다는 것을 안다.

$$2\cdot (3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4$$

두 식의 결과는 14로 같다. 이렇게 전개할 수 있었던 것은 실수 전체의 집합에서 곱셈은 덧셈에 대하여 분배법칙이 성립하기 때문이다. 일반적으로 두 연산 ·과 +가 있을 때, 다음이 성립하면 집합 M에서 연산 ·은 연산 +에 대하여 분배법칙이 성립한다고 한다.

$$\begin{array}{rcl}a\cdot (b+c)& =& (a\cdot b)+(a\cdot c)\\ (b+c)\cdot a& =& (b\cdot a)+(c\cdot a)\end{array}$$

이 등식은 모든 a, b, c ∈ M에 대하여 성립해야 한다. 분배법칙이 성립하는 연산의 다른 예로 명제 논리의 연산인 논리곱 ∧와 논리합 ∨가 있다. 명제 A, B, C가 있다고 하자. “A 그리고 (B 또는 C)”라고 하면 다음과 같이 쓴다.

$$A\wedge (B\vee C)$$

논리곱은 논리합에 대하여 분배법칙이 성립하므로 다음도 성립한다.

$$(A\wedge B)\vee (A\wedge C)$$

말로 하면 “(A 그리고 B) 또는 (A 그리고 C)”이다. 분배법칙이 성립하지 않는 연산의 예로 덧셈과 뺄셈을 보자.

$$10-(5+3)$$

올바른 결과는 물론 2이다. 괄호 안을 더하면 10 − 8이 되고, 이것은 2이기 때문이다. 이 계산에 분배법칙을 적용하면 다음 식을 얻는다.

$$(10-5)+(10-3)$$

괄호 안을 계산하면 5 + 7, 즉 12가 된다. 틀린 결과가 나왔으므로 덧셈과 뺄셈 사이에는 분배법칙이 성립하지 않는다.

다른 예: 행렬의 몇몇 연산은 분배법칙이 성립한다. 벡터공간의 벡터도 마찬가지이다. 체의 연산은 반드시 분배법칙이 성립해야 한다.