거듭제곱과 거듭제곱근

거듭제곱은 간단히 말해 같은 수를 여러 번 곱하는 것을 짧게 나타내는 수학 연산이다.

자연수 지수

거듭제곱은 aⁿ 꼴이고, n을 지수, a를 밑이라고 한다. 이제부터는 주로 지수의 모양을 살펴본다. 이 절에서는 지수가 자연수, 즉 1, 2, 3, 4, …일 때 거듭제곱의 성질을 알아본다.

이런 거듭제곱의 예로 6²이 있다. 6은 밑이고 2는 지수이다. 지수는 결과를 얻으려면 6을 몇 번 곱해야 하는지를 나타낸다. 즉 6² = 6 · 6 = 36이다. 다른 예로 4³ = 4 · 4 · 4 = 64이다. 일반적으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$a^n=\underset{n\text{개}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$$

밑은 수뿐 아니라 더 복잡한 식이어도 된다. 계산할 때는 그 식을 지수만큼 곱하면 된다. 예를 보자.

$$\begin{array}{rcl}(-5{)}^3& =& (-5)\cdot (-5)\cdot (-5)\\ x^4& =& x\cdot x\cdot x\cdot x\\ (x+3{)}^2& =& (x+3)\cdot (x+3)\end{array}$$

지수가 0일 때는 a⁰ = 1로 정한다.

음의 지수

이 절에서는 지수가 음수라고 하자. 이것을 어떻게 해석할 수 있을까? a⁰ = 1에서 출발해 보자. a¹을 구하려면 a⁰에 a를 곱한다고 할 수 있다. a⁰ = 1이므로 곱하면 a⁰ · a = a, 즉 a를 얻는다. a²을 구하려면 a² = a⁰ · a · a라고 쓸 수 있다.

a⁰ = 1을 출발점이라고 생각하면, aⁿ을 계산하는 것은 a⁰에 a를 n번 곱하는 것이다. 그렇다면 n이 음수일 때는 어떻게 할까? n이 양수이면 곱한다. n이 음수이면 나눈다. 따라서 a⁻¹은 출발점 a⁰을 a로 나누어 얻는다. 그러면 다음 식을 얻는다.

$$a^{-1}=\frac{a^0}{a}=\frac{1}{a}$$

a⁻²을 구하려면 a⁰을 a로 두 번 나눈다. 그러면 무엇이 나올까? 먼저 나눗셈을 다르게 쓰는 방법을 알아보자. 몫 x/y는 다음과 같이 쓸 수도 있다.

$$x\cdot \frac{1}{y}$$

이것은 분수의 기본 성질 가운데 하나이다. 따라서 어떤 식 x를 식 y로 두 번 나누는 것은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$x\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{y}$$

예 a⁻²으로 돌아가자. 이것은 a⁰을 a로 두 번 나누어 얻는다고 했다. 이것을 다음과 같이 변형한다.

$$a^{-2}=a^0\cdot \frac{1}{a}\cdot \frac{1}{a}=a^0\frac{1}{a\cdot a}=1\cdot \frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}$$

이제 지수가 음수인 거듭제곱을 계산하는 방법을 알았다. 지수가 양수인 것처럼 거듭제곱을 계산한 뒤, 1을 그 결과로 나누어 역수를 취하면 된다. 정확히 쓰면 다음과 같다.

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

(여기서 −n은 음수, 즉 n은 양수라고 가정한다.)

몇 가지 예를 보자.

$$\begin{array}{rcl}{2}^{-1}& =& \frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}\\ 5^{-3}& =& \frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}\\ (2x+3{)}^{-8}& =& \frac{1}{(2x+3{)}^8}\end{array}$$

유리수 지수

지수를 모든 유리수로 넓힐 수도 있다. 유리수는 분수, 즉 두 정수의 몫으로 나타낼 수 있는 수이다. n이 양수인 분수 m/n이 있다고 하자. 그러면 다음 공식을 쓸 수 있다.

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

a^m 위에 있는 꼬불꼬불한 기호는 거듭제곱근 기호이다.

계산기

거듭제곱을 계산해야 한다면 거듭제곱 계산기 🧮를 쓸 수 있다.

거듭제곱의 성질

• a ≠ 0일 때 a⁰ = 1이다.
• a¹ = a이다.
• n > 0일 때 0ⁿ = 0이다.
• 0⁰은 정의되지 않는다.
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ이다.
• a^m · aⁿ = a^{m + n}이다.
• a ≠ 0일 때 $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$이다.
• (a^m)ⁿ = a^{m · n}이다.