✖

Berapakah 1 + 2 + 5 · 0? Tertib operasi darab dan tambah

Dari semasa ke semasa, teka-teki seperti ini tersebar di media sosial. Berapakah nilai ungkapan ini?

1+2+5⋅0=?

Mari kita hitung bersama-sama:

  • Satu tambah dua sama dengan tiga.
  • Tiga tambah lima sama dengan lapan.
  • Akhirnya, lapan darab sifar sama dengan sifar.

Adakah anda mengira seperti saya? Malangnya, kita berdua telah tersilap ‼️‼️‼️ Kita terlupa peraturan yang diajar di sekolah: pendaraban didahulukan daripada penambahan. Apakah maksudnya?

Jika suatu ungkapan mengandungi penambahan dan pendaraban, kita mendarab dahulu semua yang boleh didarab, kemudian barulah kita kembali kepada penambahan. Dalam contoh kita, maksudnya kita mula-mula mendarab 5 · 0 dan mengabaikan bahagian lain ungkapan itu. Lima darab sifar ialah sifar. Kita tulis sifar ini semula ke dalam ungkapan:

1+2+5⋅0=1+2+0

Sekarang kita mempunyai ungkapan yang hanya mengandungi penambahan. Bahagian ini mudah: 1 + 2 + 0 sama dengan tiga. Jadi,

1+2+5⋅0=3

Satu lagi contoh. Berapakah nilai ungkapan ini?

1+2⋅3+4=?

Sekali lagi, peraturannya ialah pendaraban diselesaikan dahulu dan penambahan dibiarkan. Jadi, kita mula-mula menghitung 2 · 3, iaitu 6:

1+2⋅3+4=1+6+4

Sekarang ungkapan itu hanya mengandungi penambahan, dan hal ini mudah:

1+6+4=11

Sebab kalkulator memberikan jawapan yang berlainan

Jika anda mencuba contoh yang sama dengan kalkulator, anda mungkin mendapat jawapan salah yang sama seperti semasa kita mula-mula mengira 1 + 2 + 5 · 0. Bagaimanakah hal ini boleh berlaku? Pada dasarnya, terdapat dua kemungkinan: sama ada kalkulator itu tidak mengenal keutamaan operator, atau anda menekan butang sama dengan semasa mengira. Jika anda menekan butang kalkulator seperti berikut:

  • [Satu] [tambah] [dua] [sama dengan] -> kalkulator memaparkan 3,
  • [tambah] [lima] [sama dengan] -> kalkulator memaparkan 8,
  • [darab] [sifar] [sama dengan] -> kalkulator memaparkan 0,

maka anda sebenarnya tidak mengira soalan di atas. Dengan menekan “sama dengan”, anda telah mengira tiga ungkapan berlainan yang tidak berkaitan, bukannya satu ungkapan. Dalam langkah terakhir, kalkulator hanya mengira ungkapan “lapan darab sifar”, dan nilainya memang sifar. Kalkulator memaparkan jawapan yang betul. Pada ketika itu, kalkulator tidak tahu bahawa sebelumnya terdapat pendaraban yang sepatutnya didahulukan.

Jika anda tidak menekan “sama dengan”, tetapi memasukkan seluruh soalan seperti berikut:

  • [Satu] [tambah] [dua] [tambah] [lima] [darab] [sifar]

dan kalkulator masih memaparkan sifar, maka kalkulator anda tidak mengenal keutamaan operator. Hal ini memang mungkin. Dalam kes ini, anda boleh menyemak pengiraan dengan Google, kerana selain mencari, Google juga pandai mengira:

Cara mengubah tertib operasi: tanda kurung

Jika kita ingin mengubah tertib operasi, kita boleh menggunakan tanda kurung. Katakan kita mempunyai ungkapan

1+2⋅5

dan kita ingin menambah 1 + 2 dahulu, kemudian barulah mendarab hasilnya dengan lima. Kita boleh menggunakan tanda kurung seperti berikut:

(1+2)⋅5

Ungkapan dalam tanda kurung didahulukan daripada tertib operasi yang biasa. Jadi, kita mula-mula menghitung 1 + 2 dan membiarkan pendaraban seperti sedia ada. Kita peroleh:

(1+2)⋅5=3⋅5

yang sama dengan lima belas. Jadi,

(1+2)⋅5=15.

Bagaimana pula dengan pembahagian dan penolakan?

Penolakan sama seperti penambahan, dan pembahagian sama seperti pendaraban. Jadi, pendaraban dan pembahagian didahulukan daripada penambahan dan penolakan. Pendaraban dan pembahagian mempunyai keutamaan yang sama sesama sendiri, begitu juga penambahan dan penolakan.

Sebagai contoh, lihat ungkapan ini:

1+2⋅3−8÷4

Ungkapan ini sama dengan ungkapan berikut, yang kita tambah tanda kurung tanpa mengubah tertib operasi:

1+(2⋅3)−(8÷4)

Maka,

1+(2⋅3)−(8÷4)=1+6−2

yang sama dengan

1+6−2=5.

Jika pendaraban dan pembahagian berturut-turut, kita menghitungnya dari kiri ke kanan mengikut urutan:

6⋅4÷8

Mula-mula, kita hitung 6 · 4, iaitu 24. Pembahagian dibiarkan dahulu:

6⋅4÷8=24÷8

Sekarang kita hanya perlu membahagi 24 dengan lapan:

24÷8=3.

Sebab pendaraban didahulukan daripada penambahan

Anda mungkin bertanya mengapa pendaraban didahulukan daripada penambahan. Soalan ini bagus! Boleh dikatakan bahawa sebabnya hanyalah persetujuan ahli matematik. Tiada peraturan yang menunjukkan bahawa pendaraban mesti didahulukan. Seluruh matematik akan berfungsi dengan baik juga jika penambahan mempunyai keutamaan yang lebih tinggi daripada pendaraban. Atau jika kedua-duanya mempunyai keutamaan yang sama dan kita sentiasa mengira dari kiri ke kanan, seperti semasa kita menekan butang kalkulator.

Sebaliknya, jika penambahan didahulukan, kita memerlukan lebih banyak tanda kurung. Mari kita lihat contoh ungkapan fungsi kuadratik yang sedikit lebih rumit:

3x2+4x+5

Dalam matematik masa kini, ungkapan ini bermaksud “tiga darab x kuasa dua”, ditambah dengan “empat darab x”, kemudian ditambah dengan “lima”. Jika penambahan didahulukan daripada pendaraban, kita perlu menggunakan tanda kurung untuk mendapat ungkapan yang sama:

(3x2)+(4x)+5

Oleh sebab ungkapan ini dan ungkapan yang serupa kerap digunakan dalam matematik, lebih praktikal bagi ahli matematik jika pendaraban didahulukan daripada penambahan. Namun, tiada sebab yang jelas mengapa tertib itu mesti begini dan bukan sebaliknya.

Jika anda ingin tahu lebih lanjut, anda boleh membaca artikel Why Multiplication Has Higher Priority than Addition: A Pedagogical Remark oleh Olga Kosheleva dan Vladik Kreinovich.

Bukankah lebih baik menggunakan tanda kurung?

Selalunya, ya. Ramai orang tidak tahu bagaimana keutamaan pendaraban dan penambahan berfungsi, dan ungkapan semudah

1+2⋅3+4

pun boleh disalah faham. Jika anda ingin meningkatkan kemungkinan orang lain memahami maksud tatatanda matematik anda, tambahkan sahaja tanda kurung ke dalam ungkapan:

1+(2⋅3)+4