1 + 2 + 5 · 0은 얼마일까: 곱셈의 우선순위

SNS에는 이런 수수께끼가 수시로 돈다. 다음 식의 값은 얼마일까?

$1 + 2 + 5 \cdot 0 = ?$

함께 계산해 보자.

1 더하기 2는 3이다.
3 더하기 5는 8이다.
마지막으로 8 곱하기 0은 0이다.

이렇게 계산했는가? 안타깝게도 둘 다 틀렸다 ‼️‼️‼️ 학교에서 배운 규칙, 곱셈은 덧셈보다 먼저 계산한다는 것을 잊었기 때문이다. 이 규칙은 무슨 뜻일까?

한 식에 덧셈과 곱셈이 함께 있으면 곱할 수 있는 것을 모두 먼저 곱한 다음에 덧셈으로 돌아간다. 이 예에서는 식의 다른 부분은 신경 쓰지 말고 먼저 5 · 0을 계산한다는 뜻이다. 5 곱하기 0은 0이다. 이 0을 다시 식에 써 넣는다.

$1 + 2 + 5 \cdot 0 = 1 + 2 + 0$

이제 덧셈만 있는 식이 되었다. 여기서부터는 간단하다. 1 + 2 + 0은 3이다. 따라서 다음과 같다.

$1 + 2 + 5 \cdot 0 = 3$

다른 예를 보자. 다음 식의 값은 얼마일까?

$1 + 2 \cdot 3 + 4 = ?$

이번에도 곱셈을 먼저 계산하고 덧셈은 그대로 둔다. 먼저 2 · 3을 계산하면 6이다.

$1 + 2 \cdot 3 + 4 = 1 + 6 + 4$

이제 식에는 덧셈만 남았으니 간단하다.

$1 + 6 + 4 = 11$

계산기로 하면 결과가 다른 이유

같은 문제를 계산기로 계산하면 처음에 1 + 2 + 5 · 0을 계산했을 때처럼 틀린 결과가 나올 수 있다. 왜 그럴까? 크게 두 가지 경우가 있다. 계산기가 연산의 우선순위를 모르거나, 계산하는 도중에 등호를 누른 경우이다. 계산기의 버튼을 다음과 같이 눌렀다고 하자.

[1] [+] [2] [=] -> 계산기에 3이 나온다.
[+] [5] [=] -> 계산기에 8이 나온다.
[×] [0] [=] -> 계산기에 0이 나온다.

이렇게 하면 위에 주어진 문제를 계산한 것이 아니다. 중간에 “=“를 눌렀기 때문에 식 하나가 아니라 서로 관계없는 식 세 개를 계산한 셈이다. 마지막 단계에서 계산기는 “8 곱하기 0”을 계산하고, 그 값은 0이므로 계산기는 올바른 값을 보여 준 것이다. 이때 계산기는 그 앞에 먼저 계산해야 할 곱셈이 있었다는 것을 알지 못한다.

“=“를 누르지 않고 문제 전체를 다음과 같이 입력했는데도

[1] [+] [2] [+] [5] [×] [0]

계산기에 여전히 0이 나온다면, 그 계산기는 연산의 우선순위를 모르는 것이다. 충분히 있을 수 있는 일이다. 이럴 때는 구글에서 계산을 확인해 볼 수 있다. 검색 엔진은 검색뿐 아니라 계산도 잘한다.

구글에서 1 + 2 + 5 · 0 계산하기
울프럼 알파에서 1 + 2 + 5 · 0 계산하기 (울프럼 알파(WolframAlpha)는 온갖 계산을 할 수 있는 유명한 온라인 도구이다. 방정식, 미분, 적분 등을 풀 수 있다.)

괄호로 연산의 우선순위 바꾸기

연산의 우선순위를 바꾸고 싶을 때는 괄호를 쓰면 된다. 다음 식이 있다고 하자.

$1 + 2 \cdot 5$

먼저 1 + 2를 더하고 그 결과에 5를 곱하고 싶다면 다음과 같이 괄호를 쓴다.

$(1 + 2) \cdot 5$

괄호 안의 식은 보통의 연산 우선순위보다 먼저 계산한다. 따라서 먼저 1 + 2를 계산하고 곱셈은 그대로 둔다. 그러면 다음을 얻는다.

$(1 + 2) \cdot 5 = 3 \cdot 5$

이 값은 15이다. 즉 다음과 같다.

$(1 + 2) \cdot 5 = 15.$

나눗셈과 뺄셈은 어떨까

뺄셈은 덧셈과 같고, 나눗셈은 곱셈과 같다. 즉 곱셈과 나눗셈은 덧셈과 뺄셈보다 먼저 계산한다. 곱셈과 나눗셈끼리는 우선순위가 같고, 덧셈과 뺄셈끼리도 우선순위가 같다.

예를 들어 다음 식을 살펴보자.

$1 + 2 \cdot 3 - 8 \div 4$

이 식은 연산의 우선순위가 바뀌지 않도록 괄호를 넣은 다음 식과 같다.

$1 + (2 \cdot 3) - (8 \div 4)$

따라서

$1 + (2 \cdot 3) - (8 \div 4) = 1 + 6 - 2$

이고, 이 값은 다음과 같다.

$1 + 6 - 2 = 5.$

곱셈과 나눗셈이 이어서 나오면 왼쪽에서 오른쪽으로, 나오는 순서대로 계산한다.

$6 \cdot 4 \div 8$

먼저 6 · 4를 계산하면 24이다. 나눗셈은 아직 그대로 둔다.

$6 \cdot 4 \div 8 = 24 \div 8$

이제 24를 8로 나누기만 하면 된다.

$24 \div 8 = 3.$

곱셈을 덧셈보다 먼저 계산하는 이유

그런데 곱셈을 왜 덧셈보다 먼저 계산할까? 좋은 질문이다! 수학자들이 그렇게 하기로 약속했을 뿐이라고 할 수 있다. 곱셈을 반드시 먼저 계산해야 한다는 것이 분명해지는 규칙은 없다. 덧셈의 우선순위가 곱셈보다 높더라도 수학은 똑같이 잘 돌아갈 것이다. 또는 두 연산의 우선순위가 같아서 계산기를 두드릴 때처럼 언제나 왼쪽에서 오른쪽으로 계산하더라도 마찬가지이다.

다만 덧셈을 먼저 계산한다면 괄호가 더 많이 필요하다. 조금 복잡한 이차함수의 식을 예로 들어 보자.

$3 x^{2} + 4 x + 5$

지금의 수학에서 이 식은 “3 곱하기 x의 제곱”에 “4 곱하기 x”를 더하고, 다시 “5”를 더한다는 뜻이다. 덧셈을 곱셈보다 먼저 계산한다면 같은 식을 나타내기 위해 괄호를 써야 한다.

$(3 x^{2}) + (4 x) + 5$

수학에서는 이런 식을 꽤 자주 쓰므로 곱셈을 덧셈보다 먼저 계산하는 편이 수학자에게 더 편리하다. 하지만 반드시 이렇게 해야 하고 다르게 하면 안 된다는 이유는 없다.

더 알고 싶다면 올가 코셸레바(Olga Kosheleva)와 블라디크 크레이노비치(Vladik Kreinovich)의 논문 Why Multiplication Has Higher Priority than Addition: A Pedagogical Remark를 읽어 보자.

괄호를 쓰는 편이 낫지 않을까

그런 경우가 많다. 곱셈과 덧셈의 우선순위를 모르는 사람이 많아서 다음과 같이 간단한 식도

$1 + 2 \cdot 3 + 4$

잘못 이해될 수 있다. 수학 식으로 나타내려는 뜻을 사람들이 제대로 이해할 가능성을 높이고 싶다면, 그냥 식에 괄호를 넣으면 된다.

$1 + (2 \cdot 3) + 4$

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