✖

Adakah nombor genap lebih banyak daripada nombor ganjil?

Pada pendapat anda, nombor manakah yang lebih banyak? Nombor genap atau nombor ganjil? Atau adakah bilangannya sama? Bagaimanakah kita boleh menentukannya? Bagaimana pula dengan nombor lain? Adakah nombor genap lebih banyak daripada nombor asli? Adakah nombor asli lebih banyak daripada nombor nisbah? Soalan ini tidak begitu mudah kerana semua nombor itu tidak terhingga banyaknya. Walaupun begitu, kita boleh membandingkannya dan menentukan nombor manakah yang lebih banyak dan yang mana lebih sedikit.

Mari kita cuba dengan set nombor yang kecil. Bayangkan dua set nombor: nombor biru dan nombor merah:

1
2
3
4
5
6
7
8
9

Bolehkah kita menentukan nombor manakah yang lebih banyak? Nombor merah atau nombor biru? Jelas sekali bahawa… Apa? Anda buta warna dan tidak nampak dengan jelas? Baiklah, mulai sekarang nombor merah juga akan ditunjukkan sebagai petak segi empat sama:

1
2
3
4
5
6
7
8
9

Baiklah, sekarang jelas bahawa nombor biru lebih banyak daripada nombor merah. Hal ini mudah kerana kita bekerja dengan set nombor yang terhingga, maka kita boleh membilangnya. Terdapat enam nombor biru dan hanya tiga nombor merah. Set tak terhingga tidak semudah itu kerana kita tidak dapat membilangnya. Jadi, mari kita jawab soalan dalam tajuk: adakah nombor genap lebih banyak daripada nombor ganjil? Untuk memudahkan, kita hanya mengambil nombor positif. Bayangkan satu karung yang penuh dengan semua nombor ganjil dan satu karung yang penuh dengan semua nombor genap. Karung manakah yang lebih besar?

1
3
5
7
9
11
13
15
…
2
4
6
8
10
12
14
16
…

Membayangkan nombor yang tidak terhingga banyaknya bukan perkara mudah, dan membilangnya lebih sukar lagi. Adakah cara lain untuk membandingkan saiz dua set?

Membandingkan dua set terhingga

Bayangkan kita mempunyai satu karung yang penuh dengan pengantin lelaki dan satu karung yang penuh dengan pengantin perempuan. Jika setiap pengantin lelaki mempunyai seorang pengantin perempuan dan setiap pengantin perempuan mempunyai seorang pengantin lelaki, kita boleh mengatakan bahawa bilangan pengantin lelaki sama dengan bilangan pengantin perempuan:

👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵

Anda nampak? Setiap pengantin perempuan dalam baris pertama mempunyai suaminya sendiri dalam baris kedua, dan sebaliknya — setiap suami mempunyai isterinya sendiri. Namun, keadaan lain juga mungkin berlaku: setiap pengantin perempuan mempunyai suami, tetapi tidak setiap suami mempunyai pengantin perempuan:

👰 👰 👰 👰 👰 ❌

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵

Setiap isteri mempunyai suami, tetapi seorang suami tinggal bersendirian dengan sedih tanpa isteri. Apabila seorang suami berlebihan, kita boleh mengatakan bahawa suami lebih banyak daripada isteri. Begitu juga, jika seorang pengantin perempuan berlebihan

👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 ❌

kita boleh mengatakan bahawa pengantin perempuan lebih banyak daripada suami.

Membandingkan dua set tak terhingga

Bolehkah kita menggunakan kaedah ini untuk membandingkan dua set tak terhingga? Bolehkah kita memasangkan setiap nombor ganjil dengan suatu nombor genap dan setiap nombor genap dengan suatu nombor ganjil, tanpa menggunakan mana-mana nombor lebih daripada sekali? Boleh! Setiap nombor ganjil n boleh dipasangkan dengan nombor genap n + 1. Jadi, nombor 5 dipasangkan dengan nombor 5 + 1, nombor 149 dengan nombor 150 dan seterusnya. Pemasangan ini ditunjukkan dalam animasi berikut:

1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50

Bagi setiap nombor ganjil merah, terdapat satu nombor genap biru yang unik, dan bagi setiap nombor genap biru, terdapat satu nombor ganjil merah yang unik. Kita berjaya memasangkan semua nombor ganjil dengan semua nombor genap. Maksudnya, bilangan nombor genap dan nombor ganjil sama!

Baiklah, hal ini tidaklah begitu mengejutkan, bukan? Mari kita bandingkan set nombor yang lain: semua nombor asli berbanding nombor genap. Kali ini hasilnya lebih mengejutkan.

Adakah nombor asli lebih banyak daripada nombor genap?

Nombor manakah yang lebih banyak? Nombor asli atau nombor genap?

1
2
3
4
5
6
7
8
…
 
2
 
4
 
6
 
8
…

Nampaknya nombor asli mengandungi semua nombor genap. Selain itu, nombor asli juga mengandungi nombor tambahan — nombor ganjil. Jadi, tentulah nombor asli lebih banyak — nombor asli mengandungi dua kali ganda bilangan nombor!

Alangkah baiknya jika hidup semudah itu!

Kita tidak berminat sama ada satu set mengandungi nombor tambahan. Kita ingin tahu sama ada nombor daripada dua set yang berlainan boleh dipasangkan. Bolehkah kita memasangkan setiap nombor genap dengan setiap nombor asli, walaupun nombor asli lebih banyak? Ya, boleh.

Setiap nombor asli p boleh dipasangkan dengan nombor genap 2 · p, dan sebaliknya — setiap nombor genap n boleh dipasangkan dengan nombor asli n / 2. Jadi, nombor asli 5 dipasangkan dengan nombor genap 10, nombor genap 14 dipasangkan dengan nombor asli 7, dan seterusnya. Animasi berikut menunjukkan pemasangan bagi beberapa nombor pertama:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50

Tiba-tiba, bagi setiap nombor asli terdapat satu nombor genap yang unik, dan bagi setiap nombor genap terdapat satu nombor asli yang unik! Tidak mengapa jika nombor asli lebih banyak. Kedua-dua jenis nombor itu tidak terhingga banyaknya dan tidak akan habis. Dari sudut pandangan kita, set nombor genap sama besar dengan set nombor asli! 😱

Hal ini agak berlawanan dengan gerak hati, tetapi memang begitulah keadaannya.

Adakah nombor asli lebih banyak daripada nombor nisbah?

Nombor nisbah ialah pecahan. Semua nombor yang boleh ditulis dalam bentuk p/q, dengan p dan q ialah integer dan q ≠ 0, ialah nombor nisbah. Misalnya, ½, ¾ atau 8 ialah nombor nisbah, tetapi π bukan nombor nisbah. Nombor nisbah jauh lebih banyak daripada nombor asli. Misalnya, di antara nombor 2 dan 4 hanya terdapat satu integer, iaitu nombor 3, tetapi terdapat tidak terhingga banyaknya nombor nisbah. Malah, di antara nombor 0.001 dan 0.002 pun terdapat tidak terhingga banyaknya nombor nisbah. Begitu banyaknya nombor nisbah!

Jadi, kita menjangkakan bahawa set nombor nisbah mesti lebih besar daripada set nombor asli. Namun, kita semua juga dapat mengagak bahawa ada sesuatu yang tersembunyi di sini. Baiklah, mari kita cuba memasangkan nombor nisbah dengan nombor asli. Mula-mula, tulis nombor nisbah dalam jadual seperti ini:

1⁄1
1⁄2
1⁄3
1⁄4
1⁄5
1⁄6
2⁄1
2⁄2
2⁄3
2⁄4
2⁄5
2⁄6
3⁄1
3⁄2
3⁄3
3⁄4
3⁄5
3⁄6
4⁄1
4⁄2
4⁄3
4⁄4
4⁄5
4⁄6
5⁄1
5⁄2
5⁄3
5⁄4
5⁄5
5⁄6
6⁄1
6⁄2
6⁄3
6⁄4
6⁄5
6⁄6

Polanya jelas: semua pecahan dalam baris pertama mempunyai pengangka (di atas garis pecahan) 1 dan penyebut yang semakin besar, iaitu 1, 2, 3 dan seterusnya. Dalam lajur, keadaannya sebaliknya. Jika kita meneruskan jadual ini hingga ketakterhinggaan, jadual ini akan mengandungi semua pecahan yang wujud. Misalnya, pecahan 1478/517 terletak dalam baris ke-1478 dan lajur ke-517. Sekarang mari kita bina fungsi pemasangan. Kita boleh membinanya seperti berikut:

  • Nombor asli 1 dipasangkan dengan pecahan pertama dalam baris pertama, iaitu 1/1
  • Nombor asli 2 dipasangkan dengan pecahan kedua dalam baris pertama, iaitu 1/2
  • Nombor asli 3 dipasangkan dengan pecahan ketiga dalam baris pertama, iaitu 1/3
  • Nombor asli 4 dipasangkan dengan pecahan keempat dalam baris pertama, iaitu 1/4
  • …

Adakah dengan cara ini kita berjaya memasangkan semua nombor asli? Ya. Setiap nombor asli mempunyai pasangan. Pasangan bagi nombor asli 174 ialah pecahan 1/174. Tetapi adakah sebaliknya juga benar? Adakah setiap pecahan mempunyai pasangan dalam nombor asli? Apakah pasangan bagi pecahan 2/3? Tiada, kerana fungsi pemasangan kita tidak pernah sampai ke baris kedua. Kita hanya berjaya memasangkan baris pertama pecahan.

Adakah ini bermaksud nombor nisbah lebih banyak daripada nombor asli? Malangnya tidak — jika satu strategi pemasangan gagal, tidak semestinya strategi lain juga gagal. Kali ini, mari kita bergerak mengikut pepenjuru:

1⁄1
1⁄2
1⁄3
1⁄4
1⁄5
1⁄6
2⁄1
2⁄2
2⁄3
2⁄4
2⁄5
2⁄6
3⁄1
3⁄2
3⁄3
3⁄4
3⁄5
3⁄6
4⁄1
4⁄2
4⁄3
4⁄4
4⁄5
4⁄6
5⁄1
5⁄2
5⁄3
5⁄4
5⁄5
5⁄6
6⁄1
6⁄2
6⁄3
6⁄4
6⁄5
6⁄6
  • Nombor asli 1 dipasangkan dengan pecahan 1/1 (pepenjuru pertama),
  • nombor asli 2 dipasangkan dengan pecahan 1/2 (pepenjuru kedua),
  • nombor asli 3 dipasangkan dengan pecahan 2/1 (pepenjuru kedua),
  • nombor asli 4 dipasangkan dengan pecahan 1/3 (pepenjuru ketiga),
  • nombor asli 5 dipasangkan dengan pecahan 2/2 (pepenjuru ketiga),
  • nombor asli 6 dipasangkan dengan pecahan 3/1 (pepenjuru ketiga),
  • dan seterusnya.

Strategi pemasangan ini boleh dilihat dalam animasi:

1⁄1
1
1⁄2
2
1⁄3
4
1⁄4
7
1⁄5
11
1⁄6
16
2⁄1
3
2⁄2
5
2⁄3
8
2⁄4
12
2⁄5
17
2⁄6
 
3⁄1
6
3⁄2
9
3⁄3
13
3⁄4
18
3⁄5
 
3⁄6
 
4⁄1
10
4⁄2
14
4⁄3
19
4⁄4
 
4⁄5
 
4⁄6
 
5⁄1
15
5⁄2
20
5⁄3
 
5⁄4
 
5⁄5
 
5⁄6
 
6⁄1
21
6⁄2
 
6⁄3
 
6⁄4
 
6⁄5
 
6⁄6
 

Dengan cara ini, kita dapat meliputi semua pecahan. Tiada pepenjuru yang tidak terhingga panjangnya, jadi kita tidak akan terperangkap “selama-lamanya” dalam mana-mana pepenjuru. Akhirnya, setiap pecahan akan dipasangkan dengan suatu nombor asli, dan tentu sahaja setiap nombor asli akan dipasangkan dengan satu pecahan yang unik.

Sebenarnya… tidak sepenuhnya. Jika kita melihat semula jadual pecahan, kita dapati banyak nombor berulang. Misalnya, pecahan 1/1, 2/2, 3/3 dan seterusnya mewakili nombor yang sama, iaitu nombor 1. Begitu juga, pecahan 1/2, 2/4 dan 3/6 mewakili setengah. Sebenarnya, kita memetakan nombor asli 1, 5, 13 dan seterusnya kepada nombor nisbah yang sama, iaitu 1! Beberapa pengantin lelaki berkahwin dengan pengantin perempuan yang sama. Hal ini tidak boleh berlaku!

Nasib baik, masalah ini mudah dibaiki. Kita hanya memotong daripada jadual semua pecahan yang tidak berada dalam sebutan terendah, iaitu semua pecahan yang boleh dipermudahkan. Selepas itu, jadual hanya mengandungi nombor nisbah yang unik, dan helah pepenjuru kita akan berjaya. Setiap nombor asli akan dipasangkan dengan satu nombor nisbah yang unik, dan sebaliknya.

Maksudnya, set nombor asli sama besar dengan set nombor nisbah!

Setakat ini, nampaknya semua set tak terhingga sama besar. Adakah wujud set tak terhingga yang lebih besar daripada set nombor asli?

Adakah nombor asli lebih banyak daripada nombor nyata?

Kini harapan terakhir kita muncul: nombor nyata. Tiada nombor lain lagi pada garis nombor nyata. Bagaimanakah rupa nombor nyata? Nombor nyata mengandungi semua nombor nisbah dan juga semua nombor bukan nisbah. Jika kita menulis nombor dalam bentuk perpuluhan, nombor nisbah:

  • sama ada mempunyai perwakilan perpuluhan yang terhingga, contohnya 0.4841554,
  • atau mempunyai perwakilan perpuluhan jadi semula yang tidak terhingga: 0.1313131313…

Nombor bukan nisbah pula sentiasa mempunyai perwakilan perpuluhan yang tidak terhingga dan tidak berulang. Contoh nombor bukan nisbah ialah nombor π, yang sama dengan 3.141592653… (tiada bahagian yang berulang). Kita nyatakan terus dari awal: nombor nyata jauh lebih banyak daripada nombor nisbah, dan oleh itu juga daripada nombor asli. Set nombor nyata lebih besar daripada set nombor asli. Bagaimanakah kita membuktikannya?

Bayangkan kita telah menemui suatu strategi untuk memasangkan semua nombor asli dengan semua nombor nyata. Katakan strategi itu seperti berikut:

1 → 0.3452807674449021…
2 → 0.8978319745321683…
3 → 0.8972169570849831…
4 → 0.0635759905832629…
5 → 0.0081863365749335…
6 → 0.4000559394278442…
7 → 0.8637537627594889…
…

Andaikan semua nombor asli berada di sebelah kiri dan semua nombor nyata di sebelah kanan. Jika hal ini benar, kita tidak akan dapat mencari sebarang nombor nyata yang tiada di sebelah kanan. Kita sudah pun mendedahkan bahawa set nombor nyata lebih besar, maka mesti ada nombor yang tiada di sebelah kanan. Tetapi nombor yang mana? Misalnya, kita lihat bahawa nombor 0.4818063607183678 tiada. Tetapi bagaimana jika nombor itu bersembunyi di sebelah nombor 8?

1 → 0.3452807674449021…
2 → 0.8978319745321683…
3 → 0.8972169570849831…
4 → 0.0635759905832629…
5 → 0.0081863365749335…
6 → 0.4000559394278442…
7 → 0.8637537627594889…
8 → 0.4818063607183678
…

Bagaimana pula dengan nombor 0.4208424736008147? Nombor itu juga tidak kelihatan. Tetapi bagaimana jika nombor itu bersembunyi di sebelah nombor sembilan?

1 → 0.3452807674449021…
2 → 0.8978319745321683…
3 → 0.8972169570849831…
4 → 0.0635759905832629…
5 → 0.0081863365749335…
6 → 0.4000559394278442…
7 → 0.8637537627594889…
8 → 0.4818063607183678
9 → 0.4208424736008147
…

Cara ini tidak akan berjaya. Kita tidak boleh menyenaraikan semua pasangan kerana pasangan itu tidak terhingga banyaknya, jadi kita tidak boleh sekadar meneka sama ada sesuatu nombor ada dalam senarai atau tidak. Kita perlu mencari nombor yang berbeza daripada semua nombor di sebelah kanan jadual, walaupun kita tidak tahu apakah semua nombor itu. Bagaimanakah kita melakukannya?

Dua nombor berbeza jika nombor itu berbeza pada sekurang-kurangnya satu digit. Misalnya, nombor 0.123456 dan 0.123457 tidak sama — kedua-duanya berbeza pada satu digit sahaja. Itu sudah memadai. Dalam jadual, bagi nombor nyata ke-n, kita serlahkan digit ke-n selepas titik perpuluhan:

1 → 0.3452807674449021…
2 → 0.8978319745321683…
3 → 0.8972169570849831…
4 → 0.0635759905832629…
5 → 0.0081863365749335…
6 → 0.4000559394278442…
7 → 0.8637537627594889…
8 → 0.4818063607183678
9 → 0.4208424736008147
…

lalu kita bina nombor baharu supaya digit ke-n selepas titik perpuluhan berbeza daripada digit ke-n bagi nombor nyata ke-n. Nombor baharu ini bermula dengan sifar: 0.???. Digit pertama selepas titik perpuluhan dipilih supaya berbeza daripada digit pertama nombor nyata pertama, iaitu berbeza daripada 3. Misalnya, kita tulis 0.1???. Digit kedua mesti berbeza daripada digit kedua nombor nyata kedua, iaitu berbeza daripada 9. Misalnya, kita tulis 2: 0.12???. Dan seterusnya. Sembilan digit pertama mungkin kelihatan seperti ini: 0.123123127 (lihat baris terakhir jadual):

1 → 0.3452807674449021…
2 → 0.8978319745321683…
3 → 0.8972169570849831…
4 → 0.0635759905832629…
5 → 0.0081863365749335…
6 → 0.4000559394278442…
7 → 0.8637537627594889…
8 → 0.4818063607183678
9 → 0.4208424736008147
? → 0.123123127

Nombor ini berbeza daripada semua nombor dalam jadual kerana nombor ini sentiasa berbeza daripada setiap nombor itu pada sekurang-kurangnya satu digit. Walaupun jadual kita mengandungi nombor yang tidak terhingga banyaknya, nombor baharu kita terdiri daripada digit yang tidak terhingga banyaknya dengan cara yang menjadikannya berbeza daripada setiap nombor dalam jadual pada sekurang-kurangnya satu digit. Perhatikan juga bahawa kita boleh membina nombor yang tidak terhingga banyaknya yang tiada dalam jadual! Apakah kesimpulannya? Kita tidak dapat memasangkan nombor asli dengan nombor nyata. Sentiasa akan ada nombor nyata yang tidak terhingga banyaknya yang tidak dipasangkan dengan mana-mana nombor asli. Nombor nyata jauh lebih banyak daripada nombor asli.

Catatan akhir

  • Untuk memudahkan, kita mengabaikan nombor negatif dalam seluruh artikel ini. Nombor negatif tentu sahaja tidak mengubah apa-apa. Sebagai kerja rumah, anda boleh mengubah suai strategi pemasangan dalam artikel ini supaya strategi itu juga berfungsi dengan nombor negatif.
  • Saiz set nombor asli malah mempunyai nama tersendiri, iaitu alef-sifar.
  • Dalam matematik, kita sering menggunakan istilah kekardinalan set dan bukannya “saiz set”.