Kaedah penambahan pantas Trachtenberg
Kaedah penambahan Trachtenberg ialah cara untuk menambah beberapa nombor dengan pantas, kemudian menyemak dengan cara lain sama ada pengiraan kita betul. Kaedah ini dicipta oleh ahli matematik Rusia, Jakow Trachtenberg. Kita akan melihat kaedah ini melalui satu contoh. Mari kita tambah tiga nombor ini:
Mula-mula, kita tulis nombor itu dalam lajur seperti berikut:
Sekarang kita mula menambah lajur, bermula dari kanan. Kita perlu memerhatikan sama ada hasil tambahnya lebih besar daripada atau sama dengan 11. Dalam langkah pertama, kita tambah lajur terakhir, iaitu 1 + 5 + 2 = 8. Hasil ini kurang daripada 11, jadi kita hanya menulis nombor itu di bawah garisan:
Dalam langkah kedua, kita tambah lajur kedua dari kanan, iaitu 5 + 7 + 6 = 18. Menurut kaedah Trachtenberg, setiap kali hasil tambah lebih besar daripada atau sama dengan 11, kita tolak 11 daripada hasil tambah itu dan ingat berapa kali kita melakukannya. Oleh sebab 18 lebih besar daripada 11, kita hitung 18 − 11 = 7. Kita tulis nombor tujuh di bawah garisan. Oleh sebab kita menolak 11 sekali, kita catat nombor 1 pada baris di bawahnya:
Jika kita kembali ke lajur sebelumnya yang paling kanan, kita lihat bahawa hasil tambahnya lapan, jadi kita tidak perlu menolak 11 langsung. Oleh itu, kita isi nombor sifar dalam jadual:
Kita teruskan dengan lajur ketiga dari kanan dan menambah 5 + 3 + 2 = 10. Jangan risau tentang nombor sepuluh. Nombor ini kurang daripada 11, jadi kita tulis di bawah garisan bersama dengan sifar, kerana kita tidak perlu menolak 11:
Sekarang kita tambah lajur keempat dari kanan, iaitu lajur pertama. Kita lihat bahawa 9 + 7 = 16, dan nombor ini lebih besar daripada 11. Jadi, kita hitung 16 − 11 = 5, ingat bahawa kita telah menolak 11 sekali, lalu meneruskan dengan nombor 5. Nombor ini ditambah dengan nombor daripada baris ketiga, iaitu 5 + 9 = 14. Nombor empat belas juga lebih besar daripada 11, jadi kita hitung 14 − 11 = 3. Kita tulis hasil ini di bawah garisan bersama dengan maklumat bahawa kita perlu menolak 11 sebanyak dua kali:
Di bawah garisan, kita tambah satu lajur lagi dengan dua sifar. Lajur ini akan berguna kemudian:
Cara memperoleh hasil dalam kaedah Trachtenberg
Kita lukis satu lagi garisan mengufuk dan menambah kedua-dua baris hasil perantaraan. Mula-mula, kita tambah 8 + 0 = 8 dan tulis hasilnya di bawah garisan:
Mulai sekarang, langkahnya lebih rumit: kita perlu menambah nombor yang membentuk huruf “L”. Jadi, kita tambah dua nombor dalam lajur kedua terakhir dan nombor kedua daripada lajur sebelumnya, iaitu 7 + 1 + 0 = 8:
Seterusnya, kita tambah 10 + 0 + 1 = 11. Sekarang kita melakukannya seperti dalam penambahan biasa: kita tulis hanya digit terakhir, iaitu 1, dan nilai puluh dibawa ke pusingan seterusnya.
Dalam pusingan seterusnya, kita tambah 3 + 2 + 0 + 1 = 6. Nombor 1 yang terakhir ialah nombor 1 yang dibawa daripada pusingan sebelumnya (bagi setiap puluh yang dibawa, kita tambah satu di sini).
Akhirnya, kita gunakan lajur dengan dua sifar itu — lajur ini ada semata-mata supaya kita tidak lupa membuat penambahan terakhir 0 + 0 + 2 = 2.
Inilah hasil yang kita peroleh dengan kaedah Trachtenberg. Jadi,
Menyemak hasil perantaraan
Kelebihan kaedah Trachtenberg ialah kita boleh menyemak dengan agak mudah sama ada pengiraan kita betul tanpa mengulang seluruh pengiraan. Trachtenberg menemui cara untuk menyemak hasil perantaraan dan hasil akhir dengan kaedah yang berbeza sama sekali. Jadi, jika anda mengira hasil tambah dengan kaedah Trachtenberg dan juga membuat semakan, anda boleh agak yakin bahawa pengiraan anda betul. Mari kita semak bahawa hasil kita betul.
Seluruh pengiraan kita boleh dibahagikan kepada tiga bahagian. Terdapat nombor yang ditambah, hasil perantaraan dan hasil akhir:
Dalam peringkat pertama, kita semak sama ada hasil perantaraan dihitung dengan betul. Untuk itu, kita perlu mencari punca digital bagi setiap lajur. Punca digital suatu nombor diperoleh dengan menambah semua digit nombor itu. Misalnya, bagi nombor 456, kita tambah 4 + 5 + 6 = 15. Jika hasilnya lebih besar daripada 9, kita ulang langkah ini, iaitu kita hitung pula 1 + 5 = 6. Jadi, punca digital bagi nombor 456 ialah 6.
Sekarang kita kembali kepada nombor yang ditambah dan menghitung punca digital lajur terakhir, iaitu punca digital bagi nombor 152: 1 + 5 + 2 = 8.
Seterusnya, kita hitung punca digital lajur kedua terakhir, iaitu nombor 576: 5 + 7 + 6 = 18, kemudian 1 + 8 = 9.
Bagi lajur ketiga dari kanan, kita peroleh 5 + 3 + 2 = 10. Oleh sebab nombor ini mempunyai dua digit, kita hitung 1 + 0 = 1:
dan bagi lajur pertama, kita peroleh 9 + 7 + 9 = 25, kemudian 2 + 5 = 7:
Punca digital yang diperoleh ialah 7198. Sekarang kita lihat hasil perantaraan:
Kita salin baris kedua dan letakkannya di hujung, jadi baris kedua muncul dua kali:
Sekarang kita lakukan perkara yang sama seperti bagi nombor yang ditambah. Daripada setiap lajur, kita bentuk satu nombor dan menghitung punca digitalnya. Kita boleh bermula dari hujung sekali lagi: 8 + 0 + 0 = 8, lajur seterusnya memberikan 7 + 1 + 1 = 9, kemudian 10 + 0 + 0 = 10 dan 1 + 0 = 1, dan akhirnya 3 + 2 + 2 = 7:
Sekarang kita bandingkan punca digital yang diperoleh. Punca digital bagi nombor yang ditambah memberikan nombor 7198, sama seperti punca digital bagi hasil perantaraan — jadi pengiraan kita betul. Jika keputusannya berbeza, kita telah membuat kesilapan di mana-mana, sama ada semasa menyemak atau semasa menambah.
Menyemak hasil akhir
Sekarang mudah untuk menyemak bahawa hasil akhir dihitung dengan betul. Kita hitung punca digital bagi hasil akhir dan punca digital bagi punca-punca digital tadi, dan kedua-duanya mesti sama. Jadi, kita ambil hasil akhir kita, 26 188, dan menghitung punca digitalnya:
Sekarang kita hitung punca digital bagi punca-punca digital yang telah kita peroleh, iaitu punca digital bagi nombor 7198:
Kita lihat bahawa kedua-dua punca digital sama dengan tujuh, jadi semakan berjaya dan pengiraan kita betul!