Fungsi kuadratik

Fungsi kuadratik ialah fungsi yang boleh ditulis dengan rumus f(x) = ax² + bx + c, dengan a, b, c ialah nombor nyata dan a ≠ 0. Sama seperti graf fungsi linear sentiasa berupa garis lurus, graf fungsi kuadratik pula sentiasa berupa parabola.

Contoh fungsi kuadratik

Contoh fungsi kuadratik yang mudah ialah f(x) = x² + 3x − 7. Graf fungsi ini kelihatan seperti berikut:

Secara skematik, fungsi kuadratik boleh ditulis sebagai ax² + bx + c. Sebutan ax² dipanggil sebutan kuasa dua dan setiap fungsi kuadratik mesti mempunyai sebutan ini. Sebutan seterusnya, bx, dipanggil sebutan linear. Sebutan ini tidak semestinya ada dalam fungsi kuadratik, iaitu boleh bernilai sifar. Misalnya, fungsi f(x) = 5x² + 7 tetap fungsi kuadratik. Sebutan terakhir, c, dipanggil sebutan pemalar dan juga tidak wajib. Jadi, bagi fungsi f(x) = x² + 3x − 7 kita peroleh

$$a=1,b=3,c=-7$$

Mengapa a sama dengan satu? Kerana x² sebenarnya bermaksud 1 · x², jadi a = 1.

Sifat fungsi kuadratik

Kita mulakan dengan domain. Domain fungsi kuadratik ialah ℝ, iaitu set nombor nyata. Julatnya bergantung pada fungsi tertentu, tetapi sentiasa menuju ke infiniti (positif atau negatif). Selain itu, fungsi kuadratik sentiasa menokok pada satu sisi titik verteks dan menyusut pada sisi yang lain. Jika sebutan linear sama dengan sifar (b = 0), fungsi kuadratik ialah fungsi genap. Fungsi kuadratik tidak pernah menjadi fungsi satu kepada satu.

Terbatas di atas atau di bawah

Fungsi kuadratik sentiasa terbatas sama ada di atas atau di bawah. Hal ini hanya bergantung pada parameter a. Jika parameter a positif, graf fungsi “terbuka ke atas” dan kelihatan seperti huruf “U”, jadi graf itu terbatas di bawah. Contohnya ialah fungsi f(x) = 2x² dengan graf berikut:

Kita lihat bahawa semua nilai fungsi (semua titik merah) terletak di atas nombor −1, jadi fungsi ini terbatas di bawah. Jika kita mempunyai fungsi f(x) = −2x²:

semua nilai fungsi terletak di bawah nombor 1, jadi fungsi ini terbatas di atas.

Kecembungan dan kecekungan

Kecembungan dan kecekungan juga bergantung pada parameter a. Fungsi kuadratik ialah fungsi cembung (cekung ke atas, iaitu terbitan keduanya positif) jika grafnya berbentuk huruf “U”, dan fungsi cekung (cekung ke bawah, iaitu terbitan keduanya negatif) jika grafnya berbentuk huruf “U” terbalik. Jadi, jika a > 0, graf itu cembung, dan jika a < 0, graf itu cekung.

Parameter a juga menentukan sama ada graf itu sempit atau lebar. Semakin hampir nilainya kepada sifar, semakin lebar graf itu, dan sebaliknya.

Titik persilangan dengan paksi-x dan paksi-y

Untuk mencari titik persilangan fungsi dengan paksi-x atau paksi-y, kita hanya perlu membentuk persamaan yang mudah dan menyelesaikannya. Perlu diingat bahawa fungsi boleh ditulis dalam bentuk y = ax² + bx + c. Maksudnya, koordinat-y pada titik x = 2 diperoleh dengan menggantikan semua x dengan dua.

Misalnya, bagi fungsi y = x² − 4x + 3, pada titik x = 2 kita memperoleh koordinat-y 2² − 4 · 2 + 3 = −1. Jadi, graf fungsi ini pasti melalui titik (2, −1). Jika kita mahu mencari titik persilangan dengan paksi-x, kita sebenarnya mencari nilai x apabila y = 0. Titik persilangan dengan paksi-x sentiasa mempunyai koordinat-y 0. Lihat graf berikut dan perkara ini akan menjadi jelas.

Oleh itu, dalam y = x² − 4x + 3 kita hanya menggantikan y dengan sifar dan menyelesaikan persamaan itu. Punca-punca persamaan ialah koordinat-x bagi titik persilangan.

$$x^2-4x+3=0$$

Ini ialah persamaan kuadratik yang boleh diselesaikan dengan kaedah biasa. Misalnya, kita boleh memfaktorkannya menjadi (x − 1) · (x − 3). Daripada bentuk ini kita dapati bahawa puncanya ialah x₁ = 1 dan x₂ = 3.

Untuk mencari titik persilangan dengan paksi-y, kita menggunakan cara yang sama. Ambil y = x² − 4x + 3 dan kali ini gantikan x dengan sifar. Pada dasarnya, kita bertanya apakah nilai fungsi pada titik x = 0:

$$0^2-4\cdot 0+3=3$$

Jadi, titik persilangan dengan paksi-x ialah (1, 0) dan (3, 0), manakala titik persilangan dengan paksi-y ialah (0, 3).

Cara mengira koordinat titik verteks

Bagi fungsi kuadratik, menentukan titik verteks juga sangat penting. Supaya anda tidak perlu menghafal rumus yang agak rumit, kita akan melihat cara lain yang menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua. Titik verteks fungsi kuadratik ialah titik tempat fungsi mencapai nilai minimum atau maksimum. Fungsi f(x) = x² − 4x + 3, yang grafnya kelihatan seperti berikut:

mempunyai titik verteks (2, −1).

Bentuk piawai fungsi kuadratik ialah f(x) = ax² + bx + c. Bagi a = 1, kita akan menukar fungsi ini kepada bentuk g(x) = (x + m)² + n, dengan (−m, n) ialah titik verteks fungsi kuadratik itu. Bagi fungsi kita, kita mahu memperoleh bentuk (x − 2)² − 1. Bagaimanakah kita memperolehnya?

Mula-mula, kita tulis tanda kurung sahaja: (x + m), dan gantikan m dengan separuh daripada nilai parameter b dalam fungsi kuadratik itu. Parameter b sama dengan negatif empat, jadi separuhnya ialah negatif dua. Kita memperoleh tatatanda ini: (x − 2)².

Seterusnya, langkah kedua: kita perlu menolak sebutan yang berlebihan. Jika anda mengembangkan tanda kurung ini, anda tidak akan memperoleh hasil yang betul, iaitu fungsi asal. Daripada tanda kurung itu, kita masih perlu menolak kuasa dua m dan menambah parameter c daripada fungsi asal.

Secara konkrit, kita tolak (−2)² daripada tanda kurung itu dan tambah tiga (parameter c):

$$(x-2{)}^2-4+3$$

Selepas dipermudahkan, kita memperoleh

$$(x-2{)}^2-1,$$

dan inilah hasil akhirnya. Oleh sebab fungsi ini berbentuk (x + m)² + n dengan m = −2, n = −1, kita tahu bahawa titik verteks mempunyai koordinat (−m, n), iaitu (2, −1).

Kita juga patut menyemak sama ada pengiraan kita betul. Kita hanya menukar fungsi kuadratik x² − 4x + 3 kepada bentuk (x − 2)² − 1. Bentuk baharu ini sepatutnya menggambarkan fungsi yang sama. Jadi, jika kita mengembangkan tanda kurung, kita sepatutnya memperoleh bentuk asal fungsi itu. Mari kita kembangkan (x − 2)² − 1.

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2-1& =& (x-2)\cdot (x-2)-1\\ & =& x^2-4x+4-1\\ & =& x^2-4x+3\end{array}$$

Kita memperoleh fungsi yang sama, jadi langkah-langkah kita betul.