✖

1 + 2 + 5 · 0 bằng bao nhiêu? Thứ tự thực hiện phép tính

Trên mạng xã hội thỉnh thoảng lại lan truyền một câu đố kiểu như sau. Biểu thức này bằng bao nhiêu?

1+2+5⋅0=?

Ta cùng tính nhé:

  • 1 cộng 2 bằng 3.
  • 3 cộng 5 bằng 8.
  • Cuối cùng, 8 nhân 0 bằng 0.

Bạn có tính giống tôi không? Tiếc là cả hai ta đều tính sai ‼️‼️‼️ Ta đã quên mất quy tắc quen thuộc ở trường: nhân chia trước, cộng trừ sau. Điều đó nghĩa là gì?

Nếu trong một biểu thức có cả phép cộng lẫn phép nhân thì trước hết ta thực hiện mọi phép nhân có thể, rồi mới quay lại phép cộng. Ở đây, điều đó có nghĩa là trước tiên ta tính 5 · 0 và tạm bỏ qua mọi thứ khác trong biểu thức. 5 nhân 0 bằng 0. Ta viết số 0 này trở lại vào biểu thức:

1+2+5⋅0=1+2+0

Bây giờ biểu thức chỉ còn phép cộng. Phần này thì dễ: 1 + 2 + 0 bằng 3. Vậy

1+2+5⋅0=3

Một ví dụ khác. Biểu thức sau bằng bao nhiêu?

1+2⋅3+4=?

Lại theo quy tắc: thực hiện phép nhân trước, phép cộng để sau. Trước hết ta tính 2 · 3, được 6:

1+2⋅3+4=1+6+4

Bây giờ biểu thức chỉ còn phép cộng, rất dễ:

1+6+4=11

Vì sao bấm máy tính lại ra kết quả khác?

Nếu bạn thử tính các ví dụ trên bằng máy tính cầm tay, có thể bạn sẽ được kết quả sai giống như lần đầu ta tính 1 + 2 + 5 · 0. Vì sao vậy? Về cơ bản có hai khả năng: hoặc máy tính không biết thứ tự ưu tiên của các phép toán, hoặc bạn bấm dấu bằng giữa chừng. Nếu bạn bấm các phím như sau:

  • [1] [+] [2] [=] -> máy hiện 3,
  • [+] [5] [=] -> máy hiện 8,
  • [×] [0] [=] -> máy hiện 0.

thì thực ra bạn không tính biểu thức đã cho ở trên, vì khi bấm “=“ giữa chừng, bạn đã tính 3 biểu thức khác nhau, không liên quan đến nhau, thay vì một biểu thức. Ở bước cuối, máy chỉ tính biểu thức “8 nhân 0”, mà kết quả đúng là 0 – máy hiện đúng. Lúc đó máy không biết rằng trước đó còn có một phép nhân lẽ ra phải được thực hiện trước.

Nếu bạn không bấm “=“ mà nhập cả biểu thức như sau

  • [1] [+] [2] [+] [5] [×] [0]

mà máy vẫn hiện 0, thì máy tính của bạn không biết thứ tự ưu tiên của các phép toán – điều này hoàn toàn có thể xảy ra. Khi đó bạn có thể kiểm tra trên Google, vì ngoài tìm kiếm, Google cũng tính toán khá tốt:

Đổi thứ tự thực hiện phép tính: dấu ngoặc

Muốn thay đổi thứ tự thực hiện phép tính, ta dùng dấu ngoặc. Với biểu thức

1+2⋅5

nếu muốn cộng 1 + 2 trước rồi mới nhân kết quả với 5, ta dùng dấu ngoặc như sau:

(1+2)⋅5

Biểu thức trong ngoặc được thực hiện trước, bất kể thứ tự thông thường. Vì vậy trước hết ta tính 1 + 2, còn phép nhân để nguyên. Ta được:

(1+2)⋅5=3⋅5

và kết quả bằng 15. Vậy

(1+2)⋅5=15.

Còn phép chia và phép trừ thì sao?

Phép trừ giống phép cộng, phép chia giống phép nhân. Tức là phép nhân và phép chia được thực hiện trước phép cộng và phép trừ. Phép nhân và phép chia ngang hàng nhau, phép cộng và phép trừ cũng vậy.

Ví dụ, xét biểu thức

1+2⋅3−8:4

Biểu thức này giống hệt biểu thức sau, trong đó ta thêm dấu ngoặc mà không làm thay đổi thứ tự thực hiện:

1+(2⋅3)−(8:4)

Do đó

1+(2⋅3)−(8:4)=1+6−2

và kết quả là

1+6−2=5.

Nếu phép nhân và phép chia đứng liền nhau, ta thực hiện lần lượt từ trái sang phải:

6⋅4:8

Trước hết ta tính 6 · 4, được 24. Phép chia tạm để nguyên:

6⋅4:8=24:8

Bây giờ chỉ còn chia 24 cho 8:

24:8=3.

Vì sao phép nhân được thực hiện trước phép cộng

Bạn có thể hỏi: vì sao phép nhân lại được ưu tiên hơn phép cộng? Câu hỏi hay đấy! Có thể nói rằng đằng sau đó chẳng có gì khác ngoài một quy ước của các nhà toán học. Không có quy tắc nào cho thấy phép nhân bắt buộc phải được thực hiện trước. Toán học vẫn hoạt động tốt như vậy nếu phép cộng được ưu tiên hơn phép nhân. Hoặc nếu hai phép toán ngang hàng và ta luôn tính từ trái sang phải, giống như khi bấm máy tính ở trên.

Mặt khác, nếu phép cộng được ưu tiên, ta sẽ cần nhiều dấu ngoặc hơn. Hãy xem điều đó qua một biểu thức phức tạp hơn một chút của hàm số bậc hai:

3x2+4x+5

Trong toán học hiện nay, biểu thức này có nghĩa là “3 nhân x bình phương”, cộng với “4 nhân x”, rồi cộng tiếp với “5”. Nếu phép cộng được ưu tiên hơn phép nhân, ta sẽ phải dùng dấu ngoặc để được cùng biểu thức đó:

(3x2)+(4x)+5

Vì những biểu thức như vậy được dùng khá thường xuyên trong toán học, nên để phép nhân được ưu tiên hơn phép cộng là thuận tiện hơn cho các nhà toán học. Nhưng không có lí do nào cho thấy nhất thiết phải như vậy mà không thể khác.

Nếu bạn muốn tìm hiểu thêm, có thể đọc bài báo Why Multiplication Has Higher Priority than Addition: A Pedagogical Remark của Olga Kosheleva và Vladik Kreinovich.

Dùng dấu ngoặc có tốt hơn không?

Thường là có. Nhiều người không biết thứ tự thực hiện phép nhân và phép cộng, nên ngay cả một biểu thức đơn giản như

1+2⋅3+4

cũng có thể bị hiểu sai. Nếu muốn người khác dễ hiểu điều bạn muốn nói bằng kí hiệu toán học, hãy thêm dấu ngoặc vào biểu thức:

1+(2⋅3)+4