Jarak titik ke satah

Jarak titik ke satah sama dengan panjang tembereng garis “terpendek” yang dilukis dari titik itu ke satah tersebut.

Masalah

Diberi satah dengan persamaan am r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 dan titik X(5, 7, 2). Berapakah jarak titik X ke satah r? Pada gambar rajah, keadaan ini dilukis seperti berikut:

Gambar rajah menunjukkan satah ABCD dan titik X. Panjang tembereng garis XF ialah jarak titik X ke satah. Tembereng garis ini serenjang dengan satah, jadi panjangnya ialah jarak terpendek dari titik ke satah. (Gambar rajah tidak menunjukkan satah r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 atau titik X(5, 7, 2), tetapi hanya jarak titik ke satah secara umum.)

Penyelesaian dengan rumus

Kita boleh menggunakan rumus yang hampir sama dengan rumus jarak titik ke garis lurus, tetapi dengan satu dimensi tambahan. Jadi, jarak titik X(x₁, x₂, x₃) ke satah r: ax + by + cz + d = 0 dikira seperti berikut. Jarak ditandakan dengan huruf besar D kerana huruf kecil d sudah digunakan sebagai pekali dalam persamaan satah:

$$D(X,r)=\frac{|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Bagi satah r dan titik X(5, 7, 2) yang diberi, kita gantikan a = 3, b = 1, c = −2, d = 4 dan x₁ = 5, x₂ = 7, x₃ = 2:

$$\begin{array}{rcl}D(X,r)& =& \frac{|3\cdot 5+1\cdot 7-2\cdot 2+4|}{\sqrt{3^2+1^2+(-2{)}^2}}\\ & =& \frac{22}{\sqrt{14}}\approx 5.880\end{array}$$