Persamaan bulatan

Bulatan terdiri daripada semua titik pada satah yang berjarak r dari pusat S. Persamaan bulatan menyatakan perkara yang sama, tetapi dengan koordinat: titik X(x, y) terletak pada bulatan jika dan hanya jika jaraknya dari pusat S(m, n) ialah r. Jarak antara dua titik pula boleh dikira dengan teorem Pythagoras.

Kita sambungkan pusat S dengan titik X, kemudian lukis sisi mengufuk dan sisi mencancang supaya terbentuk segi tiga bersudut tegak. Panjang sisi mengufuk ialah x − m, panjang sisi mencancang ialah y − n, dan hipotenusnya ialah jejari r. Menurut teorem Pythagoras,

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2.$$

Jika titik X terletak di sebelah kiri atau di bawah pusat, beza x − m atau y − n menjadi negatif. Hal ini tidak menjadi masalah kerana kuasa dua tidak pernah negatif. Jika anda mengetahui magnitud vektor, anda akan mengenali rumus yang sama: sebelah kiri ialah kuasa dua magnitud vektor $\overrightarrow{SX}$.

Persamaan ini dipenuhi oleh koordinat semua titik pada bulatan, dan hanya oleh titik-titik itu. Titik di dalam bulatan berjarak kurang daripada r dari pusat, jadi sebelah kiri persamaan memberikan nilai yang kurang daripada r². Bagi titik di luar bulatan, keadaannya sebaliknya.

Bentuk pusat

Persamaan

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2$$

dipanggil persamaan bulatan bentuk pusat. Bentuk ini paling mudah digunakan kerana pusat S(m, n) dan jejari r dapat dilihat dengan segera.

Mari kita bina persamaan bulatan dengan pusat S(2, −1) dan jejari r = 3. Kita gantikan m = 2, n = −1 dan r = 3:

$$(x-2{)}^2+(y-(-1){)}^2=3^2$$

Tolak negatif satu sama dengan tambah satu, dan tiga kuasa dua ialah sembilan:

$$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$$

Di sinilah paling banyak kesilapan berlaku. Tanda koordinat pusat S(2, −1) dalam persamaan terbalik: dua muncul sebagai −2, dan negatif satu sebagai +1. Jika anda menulis (x + 2)² + (y − 1)² = 9, anda akan memperoleh bulatan dengan pusat (−2, 1), iaitu di tempat yang lain sama sekali. Perangkap yang sama juga wujud semasa membaca persamaan: daripada persamaan (x + 5)² + (y − 3)² = 16, kita membaca pusat S(−5, 3), bukan (5, −3). Perangkap ketiga: sebelah kanan ialah r², bukan r. Jejari bulatan ini ialah $\sqrt{16}=4$, bukan enam belas.

Bulatan yang paling mudah ialah bulatan dengan pusat di asalan (0, 0). Kedua-dua kurungan menjadi ringkas, dan kita memperoleh persamaan x² + y² = r².

Bulatan yang ditentukan oleh diameter

Soalan selalunya tidak memberikan pusat atau jejari secara terus. Misalnya, kita perlu mencari bulatan dengan diameter AB, dengan A(−1, 2) dan B(5, −6).

Pusat bulatan terletak tepat di tengah-tengah diameter, jadi pusat itu juga ialah titik tengah tembereng garis AB. Koordinatnya ialah min koordinat titik A dan B:

$$S=(\frac{-1+5}{2},\frac{2+(-6)}{2})=(\frac{4}{2},\frac{-4}{2})=(2,-2)$$

Jejari ialah separuh diameter, jadi kita kira panjang tembereng garis AB dahulu. Beza koordinatnya ialah 5 − (−1) = 6 dan −6 − 2 = −8. Kemudian kita gunakan teorem Pythagoras:

$$|AB|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Diameternya sepuluh, jadi jejarinya r = 5. Kita tersilap jika menggantikan seluruh panjang |AB| sebagai jejari, kerana saiz bulatan itu akan menjadi dua kali ganda. Kita gantikan nilai ke dalam bentuk pusat:

$$(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=25$$

Kita buat semakan dengan menggantikan titik A: (−1 − 2)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25. Betul, titik A terletak pada bulatan.

Bentuk am

Jika kita mengembangkan kurungan dalam bentuk pusat, kita peroleh persamaan bulatan bentuk am. Kita mulakan dengan bulatan pertama (x − 2)² + (y + 1)² = 9 dan mengembangkan kedua-dua kurungan menggunakan rumus (a − b)² = a² − 2ab + b² dan (a + b)² = a² + 2ab + b²:

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2& =& 9\\ x^2-4x+4+y^2+2y+1& =& 9\end{array}$$

Kita susun semula sebutan dan pindahkan sembilan ke sebelah kiri supaya sebelah kanan bernilai sifar:

$$x^2+y^2-4x+2y+4+1-9=0$$

Kita tambah nombor-nombornya:

$$x^2+y^2-4x+2y-4=0$$

Bulatan ini masih bulatan yang sama, cuma ditulis dalam bentuk lain. Bentuk am ditulis sebagai x² + y² + ax + by + c = 0. Perhatikan bahawa pekali x² dan y² sama, dan sebutan x · y tiada. Biasanya, inilah cara kita mengenali bulatan, tetapi kepastian hanya diperoleh selepas persamaan ditukar semula kepada bentuk pusat. Persamaan x² + 4y² = 4 bukan lagi persamaan bulatan, tetapi persamaan elips.

Daripada bentuk am, pusat dan jejari tidak dapat dilihat sekali pandang, jadi kita perlu tahu cara menukarnya semula.

Daripada bentuk am kepada bentuk pusat

Diberi persamaan x² + y² + 6x − 8y = 0, dan kita mahu mencari pusat dan jejarinya. Kita gunakan penyempurnaan kuasa dua, secara berasingan bagi x dan bagi y. Mula-mula, kita kumpulkan sebutan mengikut pemboleh ubah:

$$(x^2+6x)+(y^2-8y)=0$$

Separuh daripada enam ialah tiga, tetapi (x + 3)² = x² + 6x + 9, jadi kita telah menambah sembilan dan perlu menolaknya semula. Oleh itu, x² + 6x = (x + 3)² − 9. Separuh daripada negatif lapan ialah negatif empat, jadi y² − 8y = (y − 4)² − 16. Kita gantikan:

$$(x+3{)}^2-9+(y-4{)}^2-16=0$$

Kemudian kita pindahkan nombor ke sebelah kanan:

$$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=25$$

Siap, inilah bentuk pusat. Berhati-hati dengan tanda: pusatnya ialah S(−3, 4) dan jejarinya $r=\sqrt{25}=5$. Persamaan asal tidak mempunyai sebutan pemalar, jadi titik (0, 0) memenuhinya, dan bulatan itu melalui asalan. Semakan mengesahkannya: (0 + 3)² + (0 − 4)² = 9 + 16 = 25.

Jika selepas penyempurnaan kuasa dua sebelah kanan bernilai negatif, persamaan itu bukan persamaan bulatan, kerana hasil tambah dua kuasa dua tidak boleh negatif. Jika sebelah kanan bernilai sifar, hanya pusat itu sendiri yang memenuhi persamaan.

Adakah titik terletak pada bulatan?

Kita gantikan koordinat titik ke dalam sebelah kiri bentuk pusat dan membandingkan hasilnya dengan r². Ambil titik A(1, 2) dan bulatan pertama (x − 2)² + (y + 1)² = 9:

$$(1-2{)}^2+(2+1{)}^2=1+9=10$$

Hasilnya 10, iaitu lebih besar daripada 9. Jadi, titik A lebih jauh dari pusat berbanding jejari, dan titik itu terletak di luar bulatan. Jika hasilnya tepat 9, titik itu terletak pada bulatan, dan jika lebih kecil, titik itu terletak di dalam bulatan.