Persamaan parametrik garis lurus

Persamaan parametrik garis lurus ialah persamaan asas bagi garis lurus pada satah atau dalam ruang.

Motivasi

Bagaimanakah kita boleh memerihalkan garis lurus pada satah? Kita tahu bahawa dua titik berbeza sudah cukup untuk menentukan garis lurus. Namakan titik itu, misalnya, A dan B. Dengan kata lain, melalui dua titik berbeza, kita boleh melukis hanya satu garis lurus p:

Bagaimanakah kita boleh memerihalkan garis ini dengan cara lain, iaitu menggunakan vektor? Kita boleh menambah vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ yang selari dengan garis p pada gambar rajah.

Vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ini mempunyai arah yang sama dengan garis p. Hal ini berguna, tetapi arah sahaja tidak mencukupi. Jika garis p diperihalkan oleh vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ sahaja, kita hanya menentukan arah garis itu, bukan kedudukannya. Kita tidak dapat membezakan tiga garis lurus berikut:

Garis baharu p₁ dan p₂ mempunyai arah yang sama dengan garis p dan dengan vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Untuk menentukan garis p secara unik, kita juga perlu mengetahui sekurang-kurangnya satu titik yang terletak pada garis p. Jika kita katakan bahawa arah garis p diberikan oleh vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dan garis itu melalui titik A, garis p ditentukan secara unik. Garis p₁ dan p₂ memang searah dengannya, tetapi kedua-duanya tidak melalui titik A.

Sebarang garis lurus boleh ditulis sebagai $p(A,\overrightarrow{\mathbf{u}})$, dengan A ialah titik pada garis itu dan $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ialah vektor yang selari dengan garis itu. Misalnya, garis p₁ boleh ditulis sebagai $p(G,\overrightarrow{\mathbf{u}})$ dan garis p₂ sebagai $p(E,\overrightarrow{\mathbf{u}})$ atau $p(F,\overrightarrow{\mathbf{u}})$ — kita boleh menggunakan sebarang titik pada garis tersebut.

Vektor arah garis lurus

Bagi garis lurus $p(A,\overrightarrow{\mathbf{u}})$, vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dipanggil vektor arah garis lurus. Cara paling mudah untuk mencari vektor arah ialah memilih dua titik A, B pada garis p. Vektor arah ialah tembereng garis berarah $\overrightarrow{AB}$, dan komponennya diperoleh sebagai beza koordinat $\overrightarrow{\mathbf{u}}=B-A$. Contoh:

Garis p melalui dua titik A, B. Vektor arah ialah tembereng garis berarah $\overrightarrow{AB}$, jadi komponen vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ diperoleh seperti berikut:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=(6,6)-(2,4)=(4,2)$$

Magnitud vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ sama dengan panjang tembereng garis berarah $\overrightarrow{AB}$. Vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ boleh dilukis pada gambar rajah seperti berikut:

Titik akhir vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ mempunyai koordinat (4, 2), tepat seperti yang kita kira, dan jelas bahawa vektor ini selari dengan garis tersebut. Vektor arah hanya menunjukkan arah garis lurus, atau lebih tepat lagi, “kecondongan garis”. Vektor arah hanya perlu selari dengan garis lurus. Jadi, jika kita mengambil tembereng garis $\overrightarrow{BA}$ dan bukannya $\overrightarrow{AB}$, kita peroleh vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{v}}=A-B$:

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=(v_1,v_2)=(2,4)-(6,6)=(-4,-2)$$

Pada gambar rajah:

Vektor hijau $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ ialah vektor negatif bagi vektor biru $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Namun, kedua-duanya ialah vektor arah garis p kerana kedua-duanya selari dengan garis p.

Persamaan parametrik garis lurus

Katakan kita mempunyai garis lurus p, titik A pada garis itu dan vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Titik apakah yang kita peroleh jika titik A ditambah dengan vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$? Lihat gambar rajah:

Jika titik pada garis lurus ditambah dengan vektor arah, kita peroleh titik X yang juga terletak pada garis itu. Pada dasarnya, kita hanya “menganjakkan titik A mengikut arah vektor sejauh magnitud vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$”. Koordinat titik X ialah:

$$X=(x,y)=A+\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2,1)+(1,3)=(3,4)$$

Bagaimana pula jika kita mengambil separuh vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, dua kali ganda vektor itu, atau gandaan −1? Gambar rajah berikut menunjukkannya:

Kita lihat bahawa apabila titik A ditambah dengan sebarang gandaan vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, kita sentiasa memperoleh titik pada garis p. Titik merah A ialah “titik permulaan”, manakala titik-titik hijau ialah hasil tambah titik A dengan gandaan vektor arah biru $\overrightarrow{\mathbf{u}}$.

Malah, sebarang titik X pada garis p boleh diungkapkan sebagai hasil tambah titik A dengan suatu gandaan t bagi vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, dengan t ialah nombor nyata. Bagi setiap titik X pada garis p, terdapat t ∈ ℝ dengan keadaan

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}.$$

Dengan kata lain, jika kita menggantikan semua nombor nyata ke dalam persamaan ini sebagai t, kita peroleh semua titik yang membentuk garis p, iaitu seluruh garis p. Persamaan ini dipanggil persamaan parametrik garis lurus $p(A,\overrightarrow{\mathbf{u}})$.

Persamaan tadi boleh digantikan dengan persamaan serentak. Jika koordinat titik X ialah (x, y), koordinat titik A ialah (a₁, a₂) dan komponen vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ialah (u₁, u₂), kita boleh menulis

$$(x,y)=(a_1,a_2)+t\cdot (u_1,u_2),$$

yang boleh ditulis semula sebagai persamaan serentak tadi (koordinat-x dan koordinat-y diungkapkan secara berasingan):

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Setiap garis lurus pada satah boleh diungkapkan dengan persamaan serentak ini.

Sekatan parameter

Dalam bahagian sebelum ini, kita melihat bahawa jika semua nombor nyata digantikan sebagai parameter t dalam persamaan parametrik, kita peroleh garis lurus. Apakah yang berlaku jika kita tidak mengambil semua nombor nyata, tetapi katakan separuh daripadanya sahaja, iaitu nombor nyata bukan negatif?

Kita akan memperoleh sinar. Jika kita kembali kepada gambar rajah ini…

…kita lihat bahawa bagi semua gandaan positif vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ (iaitu parameter t positif), titik X yang diperoleh terletak “di atas” titik A. Sebaliknya, jika kita menambah gandaan negatif $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ (iaitu parameter t negatif), titik yang diperoleh terletak “di sebelah bertentangan”, iaitu “di bawah” titik A. Jika semua nombor bukan negatif digantikan sebagai parameter t, iaitu t ∈ [0, ∞), kita peroleh sinar r yang diserlahkan dengan warna merah:

Garis putus-putus menunjukkan titik-titik yang akan diperoleh jika semua nombor negatif digantikan sebagai parameter t.

Jika semua nombor dalam selang unit [0, 1] digantikan sebagai parameter t, kita peroleh tembereng garis yang panjangnya sama dengan magnitud vektor arah, iaitu tembereng garis merah ini:

Contoh

Diberi dua titik pada satah, A(−1, 3) dan B(2, 5).

1. Tentukan persamaan parametrik garis lurus p yang melalui titik A, B. Pertama, kita tentukan vektor arah. Kita ambil tembereng garis berarah $\overrightarrow{AB}$, jadi komponen vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ialah

   $$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=(2,5)-(-1,3)=(3,2)$$

   Bentuk am persamaan parametrik garis lurus ialah $X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}$. Selepas penggantian, kita peroleh persamaan

   $$X=(-1,3)+t\cdot (3,2)$$

   yang boleh ditulis sebagai persamaan serentak:

   $$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& -1+3t\\ x_2& =& 3+2t\end{array}$$

   Oleh sebab kita memerihalkan garis lurus, t ∈ ℝ. Gambar rajahnya terdapat sedikit di bawah.

2. Tentukan persamaan parametrik sinar r yang bermula di titik A dan melalui titik B. Kita gunakan persamaan parametrik yang sama, tetapi parameter t disekat. Persoalannya hanyalah sama ada t ∈ [0, ∞) atau t ∈ (−∞, 0].

   Vektor arah diperoleh daripada tembereng garis berarah $\overrightarrow{AB}$, jadi titik awalnya ialah A dan titik akhirnya ialah B. Inilah yang kita perlukan, kerana sinar kita juga bermula di titik A. Maka, kita tidak perlu menterbalikkan arah dengan nilai parameter negatif, dan parameter t diambil daripada selang bukan negatif t ∈ [0, ∞).

   Gambar rajah berikut menunjukkan penyelesaian soalan ini dan soalan sebelumnya.

   

3. Cari titik tengah tembereng garis AB. Terdapat dua cara. Cara pertama ialah menambah koordinat titik A, B dan membahagikan hasilnya dengan dua:

   $$M=\frac{(-1,3)+(2,5)}{2}=\frac{(1,8)}{2}=(\frac{1}{2},4)$$

   Titik yang sama juga boleh diperoleh menggunakan vektor arah. Vektor ini diperoleh daripada tembereng garis berarah $\overrightarrow{AB}$, jadi $A+\overrightarrow{\mathbf{u}}$ memberikan titik B. Oleh itu, jika kita menambah separuh vektor arah kepada A, kita peroleh titik tengah tembereng garis $\overrightarrow{AB}$:

   $$M=A+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-1,3)+\frac{1}{2}(3,2)=(-1,3)+(\frac{3}{2},1)=(\frac{1}{2},4)$$

   Kita memperoleh titik yang sama. Gambar rajah untuk semakan: