Vektor

Vektor mewakili kuantiti yang mempunyai magnitud dan juga arah. Inilah perbezaannya dengan nombor biasa, iaitu skalar, yang hanya mempunyai magnitud.

Tembereng garis berarah

Katakan terdapat dua titik berbeza A, B pada satah. Kita boleh melukis tembereng garis antara kedua-dua titik ini. Tembereng garis sedemikian biasanya ditulis sebagai AB, dan susunan titik tidak penting. Tembereng garis AB sama sahaja dengan tembereng garis BA.

Hal ini tidak selalu sesuai untuk keperluan kita. Oleh itu, kita memperkenalkan konsep tembereng garis berarah, iaitu tembereng garis yang mempunyai titik awal dan titik akhir yang dibezakan. Tembereng garis berarah AB mempunyai titik awal A dan titik akhir B. Dalam gambar rajah, tembereng garis berarah ditandakan dengan anak panah. Dalam teks pula, kita menulisnya dengan anak panah di atas huruf titik: $\overrightarrow{AB}$. Contohnya:

Tembereng garis AB ditunjukkan dengan warna biru, manakala tembereng garis berarah $\overrightarrow{CD}$ dengan warna merah. Jika tembereng garis berarah $\overrightarrow{AB}$ memenuhi A = B, tembereng garis itu dipanggil tembereng garis berarah sifar. Titik awal dan titik akhirnya sama. Sukar untuk menganggapnya sebagai tembereng garis kerana sebenarnya ia hanya satu titik.

Panjang tembereng garis berarah sama dengan panjang tembereng garis biasa: $|\overrightarrow{AB}|=|AB|$.

Arah tembereng garis berarah

Perhatikan dua tembereng garis berarah $\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{CD}$ berikut:

Sekali pandang, kita dapat melihat bahawa kedua-dua tembereng garis berarah ini mempunyai arah yang sama. Konsep “arah” sebenarnya boleh ditakrifkan dengan tepat, tetapi di sini kita berpegang pada pemahaman intuitif sahaja. Secara ringkas, dua tembereng garis berarah mempunyai arah yang sama jika kedua-duanya selari dan tidak menghala ke arah yang bertentangan. Semua pasangan tembereng garis berarah berikut mempunyai arah yang sama:

Pasangan terakhir yang berwarna hijau ialah tembereng garis berarah $\overrightarrow{IJ}$ dan $\overrightarrow{IK}$. Seterusnya, berikut ialah contoh pasangan tembereng garis yang tidak mempunyai arah yang sama:

Apakah vektor

Mari kita kembali kepada gambar rajah dua tembereng garis berarah yang mempunyai arah yang sama:

Kedua-dua tembereng garis berarah ini bukan sahaja mempunyai arah yang sama, malah panjangnya juga sama. Satu-satunya perbezaan ialah kedudukannya. Tembereng garis berarah yang mempunyai arah dan panjang yang sama mewakili satu vektor yang sama.

Oleh itu, satu vektor boleh dilukis pada satah (atau dalam ruang) dengan cara yang tidak terhingga banyaknya. Kita hanya perlu mengambil sebarang tembereng garis berarah yang mempunyai arah dan panjang yang sama dengan vektor tersebut. Semua tembereng garis berarah berikut mewakili satu vektor yang sama:

Vektor ditentukan oleh magnitud dan arahnya sahaja. Magnitud dan arah vektor sama dengan panjang dan arah mana-mana tembereng garis berarah yang mewakilinya. Vektor biasanya ditulis dengan huruf tebal dan anak panah, sama seperti tembereng garis berarah. Contohnya, vektor $\overrightarrow{\mathbf{AB}}$ atau, dengan lebih ringkas, vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$.

Setiap tembereng garis berarah tertentu menunjukkan satu kedudukan vektor. Gambar rajah di atas mengandungi 7 tembereng garis berarah, dan setiap satu menunjukkan kedudukan vektor yang berbeza. Tembereng garis berarah $\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{MN}$ mewakili vektor yang sama, katakan $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, tetapi kedua-duanya ialah dua kedudukan berbeza bagi vektor $\overrightarrow{\mathbf{v}}$.

Vektor selari

Katakan kita mempunyai dua vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Kedua-dua vektor ini dikatakan selari (kolinear) jika kedua-duanya terletak pada garis lurus yang selari. Magnitud vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ tidak semestinya sama. Arahnya pula mesti sama atau bertentangan. Contoh vektor selari:

Semua vektor merah selari antara satu sama lain. Arahnya tidak penting di sini: vektor itu boleh menghala ke penjuru kanan atas atau ke penjuru kiri bawah. Vektor biru $\overrightarrow{GH}$ tidak selari dengan vektor-vektor merah.

Namun, jika vektor selari mempunyai arah yang sama, kita katakan vektor itu searah. Jika arahnya tidak sama, vektor itu bertentangan arah. Kembali kepada gambar rajah di atas: vektor $\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{EF}$ searah, manakala vektor $\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{KL}$ bertentangan arah.

Komponen vektor

Kita sudah tahu bahawa satu vektor boleh diwakili oleh tembereng garis berarah yang tidak terhingga banyaknya. Salah satu daripadanya bermula di asalan sistem koordinat, iaitu di titik (0, 0) pada satah atau di titik (0, 0, 0) dalam ruang. Perhatikan gambar rajah berikut:

Tembereng garis berarah $\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{CD}$ mempunyai arah dan panjang yang sama, jadi kedua-duanya mewakili satu vektor. Tembereng garis $\overrightarrow{CD}$ pula bermula di asalan, iaitu koordinat titik C ialah (0, 0). Hal yang sama berlaku bagi pasangan tembereng garis $\overrightarrow{EF}$ dan $\overrightarrow{KL}$.

Oleh sebab tembereng garis $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ bermula di asalan, kita boleh bersetuju untuk menandakan vektor ini dengan titik akhirnya sahaja. Titik awalnya sama (iaitu asalan sistem koordinat), jadi untuk membezakan tembereng garis $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$, cukup jika kita menulis titik akhirnya.

Kita katakan bahawa vektor $\overrightarrow{AB}$, dan oleh itu juga vektor $\overrightarrow{CD}$, mempunyai komponen (3, 1), iaitu koordinat titik D — titik akhir tembereng garis $\overrightarrow{CD}$. Vektor $\overrightarrow{KL}$ pula mempunyai komponen (−1, 4), iaitu koordinat titik F.

Cara mengira komponen vektor

Sekarang kita lihat cara mencari komponen vektor secara matematik. Andaikan kita mengetahui koordinat titik A, B yang menentukan vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Katakan vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ditentukan oleh titik A(2, 3) dan B(5, 4). Vektor ini ialah vektor merah yang terletak lebih tinggi dalam gambar rajah di atas. Bagaimanakah kita mencari koordinat titik D, iaitu titik akhir tembereng garis berarah yang mewakili vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dan bermula di asalan?

Kita hanya perlu menganjakkan seluruh tembereng garis $\overrightarrow{AB}$ ke asalan sistem koordinat. Untuk membawa titik A ke asalan, kita perlu menganjakkannya 2 petak ke kiri dan 3 petak ke bawah. Titik B dianjakkan dengan cara yang sama. Dengan kata lain, kita menolak koordinat titik A daripada kedua-dua titik A dan B. Dengan itu, tembereng garis $\overrightarrow{AB}$ berpindah ke tempat tembereng garis $\overrightarrow{CD}$. Kita boleh menulis:

$$\begin{array}{rcl}A-A=(2,3)-(2,3)& =& (0,0)\\ B-A=(5,4)-(2,3)& =& (3,1)\end{array}$$

Maka, komponen vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ialah (3, 1), iaitu koordinat titik akhir tembereng garis berarah yang bermula di asalan.

Secara umum, jika vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ditentukan oleh titik A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂), komponen vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ diperoleh seperti berikut:

$$B-A=(x_2-x_1,y_2-y_1)$$

Komponen vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ditulis dalam tanda kurung, jadi komponen vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ tadi ditulis seperti ini: $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(3,1)$.

Kita juga boleh kembali kepada gambar rajah dan mengira komponen vektor $\overrightarrow{KL}$. Koordinat titik K dan L ialah K(−2, 1), L(−3, 5). Oleh itu, komponen vektor ini ialah

$$L-K=(-3,5)-(-2,1)=(-1,4)$$

Kita memperoleh koordinat titik F, tepat seperti yang dijangkakan.

Cara mengira magnitud vektor

Apabila komponen vektor diketahui, magnitudnya mudah dikira. Dengan teorem Pythagoras, kita dapat menyimpulkan bahawa magnitud vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)$ pada satah ialah

$$|\overrightarrow{\mathbf{u}}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$

Gambar rajah berikut menunjukkan bahawa komponen vektor sama dengan panjang sisi segi tiga yang kita bina. Dengan teorem Pythagoras, magnitud vektor memang mudah dikira.

Bagi vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2,4)$, magnitudnya ialah

$$|\overrightarrow{\mathbf{u}}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$$

Berikut ialah dua contoh untuk latihan.

1. Tentukan komponen vektor u yang ditentukan oleh titik A(3, 7), B(−1, 0). Langkahnya sangat mudah dan terus: $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A$.

   $$u_1=-1-3=-4,u_2=0-7=-7$$

   Maka, komponen vektor ini ialah $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-4,-7)$

2. Diberi vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dengan komponen $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2,3)$ yang dibentuk oleh titik A(6, 6) dan B(x₁, y₁), iaitu $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$. Cari koordinat titik B.

   Kita gunakan semula persamaan yang sudah biasa itu dan ungkapkan pemboleh ubah yang tidak diketahui:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_1& =& x_1-6\\ x_1& =& u_1+6\\ x_1& =& 2+6\\ x_1& =& 8\end{array}$$

   Koordinat kedua dicari dengan cara yang sama:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_2& =& y_1-6\\ y_1& =& u_2+6\\ y_1& =& 3+6\\ y_1& =& 9\end{array}$$

   Koordinat titik B ialah (8, 9).