Kedudukan relatif dua garis lurus

Dua garis lurus pada satah boleh berada dalam empat kedudukan berbeza. Garis itu boleh selari, bersilang, serenjang atau bertindih.

Kedudukan relatif daripada persamaan

Jika kita mempunyai dua garis lurus dan persamaannya, kita hanya perlu menyelesaikan persamaan serentak yang dibentuk oleh kedua-dua persamaan itu. Terdapat tiga kemungkinan:

1. Persamaan serentak tidak mempunyai penyelesaian — garis-garis itu tidak mempunyai titik sepunya, jadi kedua-duanya selari.
2. Persamaan serentak mempunyai hanya satu penyelesaian — garis-garis itu mempunyai hanya satu titik sepunya, iaitu titik persilangan, jadi kedua-duanya bersilang.
3. Persamaan serentak mempunyai penyelesaian yang tidak terhingga banyaknya — garis-garis itu mempunyai titik sepunya yang tidak terhingga banyaknya, jadi kedua-duanya bertindih.

Perhatikan bahawa kaedah ini tidak memberitahu kita sama ada garis-garis itu saling serenjang.

Gambar rajah menunjukkan garis selari a, b, garis bersilang c, d yang bertemu pada satu titik, dan garis bertindih e, f.

Berikut ialah beberapa contoh:

1. Tentukan kedudukan relatif garis p dan q yang diberikan oleh persamaan p: −x + 3y − 5 = 0 dan q: 2x + 3y − 17 = 0. Kita bentuk persamaan linear serentak daripada kedua-dua persamaan dan menyelesaikannya:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-5& =& 0\\ 2x+3y-17& =& 0\end{array}$$

   Persamaan pertama didarab dengan dua:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y-10& =& 0\\ 2x+3y-17& =& 0\end{array}$$

   Kemudian kedua-dua persamaan ditambah:

   $$-2x+6y-10+(2x+3y-17)=0$$

   Langkah seterusnya mudah:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y-10+(2x+3y-17)& =& 0\\ 6y+3y-10-17& =& 0\\ 9y-27& =& 0\\ y-3& =& 0\\ y=3\end{array}$$

   Kita juga mengira x, misalnya dengan menggantikan y = 3 ke dalam persamaan −x + 3y − 5 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-5& =& 0\\ -x+3\cdot 3-5& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

   Persamaan serentak ini mempunyai satu penyelesaian sahaja, iaitu x = 4, y = 3. Maksudnya, garis-garis itu bersilang pada titik X(4, 3). Gambar rajah:

   

2. Tentukan kedudukan relatif garis p dan q yang diberikan oleh persamaan p: 2x + y − 8 = 0 dan persamaan parametrik garis q:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   Dalam kes ini, kita mempunyai satu persamaan bentuk am dan satu persamaan parametrik. Kita selesaikan kes ini dengan menggantikan x dan y dalam persamaan bentuk am dengan ungkapan daripada persamaan parametrik. Iaitu, x dalam persamaan bentuk am digantikan dengan sebelah kanan persamaan parametrik yang sepadan, dan begitu juga bagi y. Kita peroleh satu persamaan:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y-8& =& 0\\ 2\cdot (5-t)+(2+2t)-8& =& 0\end{array}$$

   Kemudian persamaan ini diselesaikan seperti biasa:

   $$\begin{array}{rcl}2\cdot (5-t)+(2+2t)-8& =& 0\\ 10-2t+2+2t-8& =& 0\\ 12-8+2t-2t& =& 0\\ 4& =& 0\end{array}$$

   Persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian, jadi garis-garis itu tidak bersilang pada sebarang titik. Maka, garis p dan q selari. Gambar rajah:

   

3. Tentukan kedudukan relatif garis p dan q yang diberikan oleh persamaan p: 3x + y − 10 = 0 dan q: −9x −3y + 30 = 0. Sekali pandang, persamaan kedua ialah gandaan −3 bagi persamaan pertama, jadi garis-garis itu sepatutnya bertindih. Namun, mari kita kira. Kita bentuk persamaan serentak:

   $$\begin{array}{rcl}3x+y-10& =& 0\\ -9x-3y+30& =& 0\end{array}$$

   Persamaan pertama didarab dengan 3:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y-30& =& 0\\ -9x-3y+30& =& 0\end{array}$$

   Kemudian kedua-dua persamaan ditambah:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y-30+(-9x-3y+30)& =& 0\\ 9x-9x+3y-3y+30-30& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

   Persamaan serentak ini mempunyai penyelesaian yang tidak terhingga banyaknya. Garis-garis itu mempunyai titik sepunya yang tidak terhingga banyaknya, jadi kedua-duanya bertindih. Gambar rajah:

   

Kedudukan relatif daripada vektor arah dan vektor normal

Jika kita mengetahui vektor arah atau vektor normal, kita dapat menentukan kedudukan relatif dua garis lurus. Peraturannya seperti berikut:

1. Jika vektor arah selari (bersandar linear), garis-garis itu selari atau bertindih.
2. Jika vektor arah tidak selari (tidak bersandar linear), garis-garis itu bersilang.
3. Jika hasil darab skalar vektor arah ialah sifar, garis-garis itu saling serenjang.

Peraturan ini juga berlaku bagi vektor normal. Iaitu, jika vektor normal selari, garis-garis itu selari atau bertindih, dan seterusnya.

Mari kita selesaikan semula tiga contoh dalam bahagian sebelum ini menggunakan vektor arah dan vektor normal.

1. Tentukan kedudukan relatif garis p dan q yang diberikan oleh persamaan p: −x + 3y − 5 = 0 dan q: 2x + 3y − 17 = 0. Vektor normal garis p ialah $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-1,3)$, dan vektor normal garis q ialah $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(2,3)$. Kedua-dua vektor ini tidak selari kerana vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ tidak bersandar linear. Tiada a ∈ ℝ yang memenuhi $a\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Oleh itu, garis-garis itu bersilang.

   Kita juga mengira hasil darab skalar untuk menyemak sama ada garis-garis itu saling serenjang. Hasil darab skalar vektor normal ialah

   $$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=(u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2)=-2+9=7$$

   Hasil darab skalar bukan sifar, jadi garis-garis itu tidak serenjang.

2. Tentukan kedudukan relatif garis p dan q yang diberikan oleh persamaan p: 2x + y − 8 = 0 dan persamaan parametrik garis q:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   Daripada persamaan parametrik, kita terus dapat membaca vektor arah garis q. Komponennya ialah pekali bagi parameter t, jadi vektor arah garis q ialah $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(-1,2)$. Daripada persamaan bentuk am garis p pula, kita terus dapat membaca vektor normal $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(2,1)$ (pekali bagi x dan y). Daripada vektor normal, kita peroleh vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(1,-2)$.

   (Kita hanya menukar tempat kedua-dua nombor dan mendarab salah satu komponen dengan −1. Hasil darab skalar vektor (2, 1) dan (1, −2) ialah sifar. Oleh itu, jika (2, 1) ialah vektor normal, (1, −2) ialah vektor arah.)

   Kita lihat bahawa vektor arah garis p ialah gandaan −1 bagi vektor arah garis q, iaitu $-1\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Vektor arah kedua-dua garis selari, jadi garis p dan q selari atau bertindih.

   Sekarang kita perlu menentukan sama ada garis-garis itu selari atau bertindih. Cukup jika kita mengambil sebarang titik A pada garis q dan menggantikannya ke dalam persamaan garis p. Jika persamaan itu benar, garis-garis itu bertindih. Jika tidak, garis-garis itu hanya selari.

   Kita ambil persamaan parametrik garis q dan menggantikan parameter t dengan sifar. Kita peroleh:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-0=5\\ y& =& 2+2\cdot 0=2\end{array}$$

   Kita memperoleh titik A(5, 2) yang pasti terletak pada garis q. Koordinat ini digantikan ke dalam persamaan bentuk am p: 2x + y − 8 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y-8& =& 0\\ 2\cdot 5+2-8& =& 0\\ 12-8& =& 0\\ 4& =& 0\end{array}$$

   Titik ini tidak memenuhi persamaan, jadi titik A(5, 2) tidak terletak pada garis p, dan garis-garis itu tidak bertindih.

3. Tentukan kedudukan relatif garis p dan q yang diberikan oleh persamaan p: −x + 3y − 6 = 0 dan q: 3x + y − 14 = 0. Contoh ini berbeza daripada contoh ketiga dalam bahagian sebelum ini. Daripada kedua-dua persamaan, kita dapat membaca vektor normal kedua-dua garis, iaitu ${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p=(-1,3)$ dan ${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q=(3,1)$. Vektor normal ini tidak bersandar linear (tidak selari): tiada nombor nyata a yang memenuhi $a\cdot {\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p={\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q$.

   Sekarang kita semak sama ada garis-garis itu serenjang. Kita kira hasil darab skalar:

   $${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p\cdot {\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q=(-1,3)\cdot (3,1)=-3+3=0$$

   Hasil darab skalar ialah sifar, jadi kedua-dua vektor saling serenjang. Oleh itu, garis-garis itu juga saling serenjang. Gambar rajah:

   

   Jika kita mahu mencari titik persilangan kedua-dua garis, kita perlu mengiranya daripada persamaan. Kita bentuk persamaan serentak daripada persamaan bentuk am:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-6& =& 0\\ 3x+y-14& =& 0\end{array}$$

   Persamaan pertama didarab dengan −3:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y-18& =& 0\\ 3x+y-14& =& 0\end{array}$$

   Kemudian kedua-dua persamaan ditambah dan dipermudahkan:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y-18+(3x+y-14)& =& 0\\ 9y+y-18-14& =& 0\\ 10y-32& =& 0\\ y=\frac{32}{10}=\frac{16}{5}\end{array}$$

   Koordinat-x dikira dengan menggantikan nilai ini ke dalam salah satu persamaan, misalnya −x + 3y − 6 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-6& =& 0\\ -x+3\cdot \frac{16}{5}-6& =& 0\\ -x+\frac{48}{5}-\frac{30}{5}& =& 0\\ -x+\frac{18}{5}& =& 0\\ x& =& \frac{18}{5}\end{array}$$

   Koordinat titik persilangan kedua-dua garis ialah $P(\frac{18}{5},\frac{16}{5})$.