Jarak titik ke garis lurus

Jarak titik ke garis lurus sama dengan panjang tembereng garis “terpendek” yang dilukis dari titik itu ke garis tersebut.

Masalah

Diberi garis lurus p dan titik A yang tidak terletak pada garis itu. Kita ingin mengetahui jarak titik A ke garis p. Sebagai contoh, kita ambil garis lurus dengan persamaan bentuk am p: −x + 2y − 12 = 0 dan titik A(6, 4):

Jarak titik ke garis lurus sama dengan panjang tembereng garis AB, dengan garis AB serenjang dengan garis p dan titik B terletak pada garis p. Kita namakan garis AB sebagai q.

Penyelesaian dengan rumus

Jika anda tidak mahu membuktikan apa-apa atau membuat pengiraan yang “rumit”, anda boleh menghafal rumusnya sahaja. Bagi titik A(a₁, a₂) dan garis p dengan persamaan bentuk am p: ax + by + c = 0, jarak titik A ke garis p ialah:

$$d(A,p)=\frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Kita gunakan rumus ini pada contoh tadi. Gantikan nilai:

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 6+2\cdot 4-12|}{\sqrt{(-1{)}^2+2^2}}\\ & =& \frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\ & =& \frac{10\cdot \sqrt{5}}{5}=2\cdot \sqrt{5}\\ & \approx & 4.4721\end{array}$$

Kaedah melalui koordinat titik persilangan

Sebagai alternatif, kita boleh cuba mengira koordinat titik B. Selepas itu, panjang tembereng garis AB mudah dikira melalui magnitud vektor atau dengan teorem Pythagoras. Untuk tujuan ini, kita boleh menggunakan persamaan garis q. Daripada persamaan bentuk am garis p, kita terus memperoleh vektor normal garis p, iaitu $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(-1,2)$. Garis p dan q saling serenjang. Maksudnya, jika kita mengambil vektor $\overrightarrow{\mathbf{m}}$ yang serenjang dengan vektor $\overrightarrow{\mathbf{n}}$, vektor $\overrightarrow{\mathbf{m}}$ ialah vektor normal garis q.

Salah satu vektor serenjang sedemikian ialah $\overrightarrow{\mathbf{m}}=(2,1)$ (kita boleh menyemaknya, misalnya dengan hasil darab skalar). Jadi, persamaan bentuk am garis q ialah

$$q:2x+y+c=0$$

Pekali c dikira dengan menggantikan x dan y dengan koordinat titik yang pasti terletak pada garis itu. Dalam kes ini, titik itu ialah A(6, 4). Kita peroleh:

$$\begin{array}{rcl}2x+y+c& =& 0\\ 2\cdot 6+4+c& =& 0\\ c& =& -16\end{array}$$

Persamaan bentuk am lengkap bagi garis q ialah:

$$q:2x+y-16=0$$

Sekarang kita mahu mencari titik persilangan kedua-dua garis. Caranya, kita bentuk persamaan serentak daripada persamaan kedua-dua garis dan menyelesaikannya:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Persamaan pertama didarab dengan 2, manakala persamaan kedua tidak diubah:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Kedua-dua persamaan ditambah:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24+(2x+y-16)& =& 0\\ 4y+y-24-16& =& 0\\ 5y& =& 40\\ y& =& 8\end{array}$$

Koordinat-y titik B ialah y = 8. Nilai ini digantikan ke dalam salah satu persamaan, misalnya −x + 2y − 12 = 0:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ -x+2\cdot 8-12& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

Koordinat titik B ialah B(4, 8). Sekarang koordinat kedua-dua titik sudah diketahui, dan panjang tembereng garis mudah dikira. Kita boleh membentuk vektor $\overrightarrow{AB}$ daripada tembereng garis AB dan mengira magnitud vektor itu.

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(4,8)-(6,4)=(-2,4)$$

Magnitud vektor (−2, 4) ialah:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\cdot \sqrt{5}\approx 4.4721$$