Persamaan satah

Seperti garis lurus, satah boleh diungkapkan dengan beberapa cara. Kita mulakan dengan cara yang paling mudah, iaitu persamaan parametrik satah.

Persamaan parametrik satah

Mula-mula, mari kita ingat semula cara kita menentukan persamaan parametrik garis lurus p. Kita memilih titik A yang dilalui oleh garis p, kemudian vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Jika kita menambah suatu gandaan t bagi vektor arah kepada titik A, kita memperoleh suatu titik pada garis p. Jadi, bagi setiap titik X pada garis itu, kita memperoleh persamaan

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Dengan penaakulan yang serupa, kita boleh memperoleh persamaan satah. Untuk memerihalkan satah, kita memerlukan dua vektor bukan sifar yang berbeza dan tidak kolinear, iaitu tidak selari, serta titik A yang dilalui oleh satah itu. Kedua-dua vektor tidak boleh kolinear supaya kedua-duanya tidak terletak pada satu garis lurus. Satu garis lurus tidak menentukan satah, kerana satu garis lurus boleh terletak pada satah yang tidak terhingga banyaknya.

Kita juga boleh melihatnya dengan cara lain. Garis lurus boleh ditentukan oleh dua titik berbeza A, B. Satah yang melalui kedua-dua titik ini tidak terhingga banyaknya. Namun, jika kita menambah satu lagi titik C yang tidak terletak pada garis AB, satah itu ditentukan secara unik.

Jadi, jika kita mempunyai tiga titik berbeza A, B, C, kita boleh membina dua vektor berbeza $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{AC}$. Kedua-dua vektor ini bersama-sama titik A, misalnya, menentukan satah. Mari kita ingat semula penambahan vektor:

Kita lihat bahawa dengan menambah dua vektor, kita boleh memperoleh vektor yang terletak “di antara” kedua-dua vektor itu. Dengan menambah pelbagai gandaan vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, kita dapat memenuhi seluruh satah. Oleh itu, kita boleh menulis persamaan parametrik satah yang ditentukan oleh vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ dan melalui titik A:

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}+s\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}},t,s\in \mathbb{R}$$

dengan X ialah suatu titik pada satah. Bagi setiap titik pada satah, kita dapat mencari t dan s yang menjadikan persamaan ini benar. Persamaan ini juga boleh ditulis sebagai persamaan serentak. Andaikan X(x, y, z), A(a₁, a₂, a₃), $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2,u_3)$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(v_1,v_2,v_3)$.

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1+s\cdot v_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2+s\cdot v_2\\ z& =& a_3+t\cdot u_3+s\cdot v_3\end{array}$$

Contoh

Tentukan sama ada titik Q(0, 3, 5) terletak pada satah yang ditentukan oleh titik A(2, 3, 4), B(3, 7, −1), C(−5, 4, 4).

Pertama sekali, kita bina persamaan satah. Kita tentukan vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, dengan $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{AC}$. Maka:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{\mathbf{u}}& =& B-A=(3,7,-1)-(2,3,4)=(1,4,-5)\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}& =& C-A=(-5,4,4)-(2,3,4)=(-7,1,0)\end{array}$$

Satah itu melalui titik A, jadi kita tulis persamaan serentak:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ y& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ z& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Sekarang kita semak sama ada satah ini melalui titik Q(0, 3, 5). Caranya, kita gantikan x,y,z dengan nombor 0, 3, 5 dan menyelesaikan persamaan serentak itu. Kita peroleh:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Daripada persamaan terakhir, kita boleh menjadikan t perkara rumus:

$$\begin{array}{rcl}5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\\ 5& =& 4-t\cdot 5\\ 1& =& -t\cdot 5\\ t\cdot 5& =& -1\\ t& =& -\frac{1}{5}\end{array}$$

Kita gantikan t ke dalam persamaan kedua:

$$\begin{array}{rcl}3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 3& =& 3-\frac{1}{5}\cdot 4+s\cdot 1\\ 0& =& -\frac{4}{5}+s\cdot 1\\ s& =& \frac{4}{5}\end{array}$$

Akhir sekali, kita gantikan nilai t dan s ke dalam persamaan pertama untuk menyemak sama ada persamaan itu benar:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 0& =& 2-\frac{1}{5}\cdot 1-\frac{4}{5}\cdot 7\\ 0& =& \frac{10}{5}-\frac{1}{5}-\frac{28}{5}\\ 0& =& -\frac{19}{5}\end{array}$$

Persamaan ini tidak benar, jadi persamaan serentak itu tidak mempunyai penyelesaian. Titik Q(0, 3, 5) tidak terletak pada satah tersebut.