Kebarangkalian bersyarat

Semasa mengira kebarangkalian, kita boleh menambah syarat tambahan pada eksperimen rawak. Contoh klasik soalan kebarangkalian bersyarat adalah seperti berikut: tiga biji dadu dilambung. Jika salah satu dadu menunjukkan nombor 3, berapakah kebarangkalian hasil tambah ketiga-tiga nombor ialah tujuh?

Pembuktian rumus

Katakan kita mempunyai suatu eksperimen rawak (contohnya lambungan dadu) dan dua peristiwa berbeza A dan B dengan P(B) ≠ 0, iaitu peristiwa B bukan peristiwa mustahil. Kita bercakap tentang kebarangkalian bersyarat apabila kita bertanya: berapakah kebarangkalian peristiwa A jika peristiwa B telah berlaku? Kebarangkalian ini ditandakan sebagai P(A|B).

Mari kita cari rumus untuk mengira kebarangkalian bersyarat langkah demi langkah. Untuk memudahkan, bayangkan dadu empat muka, iaitu dadu yang hanya boleh menunjukkan nombor 1, 2, 3 atau 4. Kita cuba menyelesaikan soalan berikut: jika dua biji dadu empat muka dilambung, berapakah kebarangkalian hasil tambah kedua-dua nombor ialah enam, jika sekurang-kurangnya satu dadu menunjukkan nombor yang lebih kecil daripada tiga?

Kita mulakan dengan menyenaraikan semua kesudahan yang mungkin bagi dua biji dadu empat muka. Terdapat 4 · 4 = 16 kesudahan kesemuanya.

$$\begin{array}{rcl}& & (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),\\ & & (4,1),(4,2),(4,3),(4,4)\end{array}$$

Apakah peristiwa A dan B? Peristiwa A ialah “hasil tambah nombor pada dadu ialah enam”, manakala peristiwa B ialah “sekurang-kurangnya satu dadu menunjukkan nombor yang lebih kecil daripada tiga”. Kita mahu mencari kebarangkalian bersyarat P(A|B), iaitu kebarangkalian peristiwa A berlaku jika kita tahu bahawa peristiwa B telah berlaku. Pertama, daripada jadual di atas kita pilih hanya pasangan yang juga termasuk dalam peristiwa B, iaitu sekurang-kurangnya satu nombor dalam pasangan itu lebih kecil daripada tiga. Kita memperoleh:

$$\begin{array}{rcl}& B=& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),\\ & & (4,1),(4,2)\end{array}$$

Set ini boleh dianggap sebagai set semua kesudahan yang mungkin. Sebenarnya kedua-dua dadu boleh menunjukkan nombor 4, tetapi dengan syarat tambahan B kita menyatakan bahawa kesudahan seperti itu tidak diambil kira. Kita hanya berminat dengan kesudahan yang sekurang-kurangnya satu dadunya menunjukkan nombor yang lebih kecil daripada tiga.

Sekarang kita hanya bertanya: berapakah kebarangkalian peristiwa A berlaku jika set semua kesudahan sama dengan set B? Itulah maksud kebarangkalian bersyarat. Jadi, dalam set B ini kita cari pasangan yang hasil tambahnya enam:

$$(2,4),(4,2)$$

Bagaimanakah kita mengira kebarangkaliannya sekarang? Terdapat 2 kesudahan yang menyebelahi peristiwa, dan bilangan semua kesudahan sama dengan saiz set B, iaitu 12. Jadi, kebarangkalian bersyarat ialah

$$P(A|B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$$

Sekarang kita perlu mengitlakkan hasil ini. Kita telah menyatakan bahawa set B boleh dianggap sebagai set semua kesudahan yang mungkin. Bagaimanakah pula rupa set semua kesudahan yang menyebelahi peristiwa? Set itu terdiri daripada kesudahan yang berada dalam A (peristiwa yang kita minati) dan pada masa yang sama berada dalam B (syarat yang mengehadkan kita). Dengan kata lain, terdapat satu lagi cara dua biji dadu empat muka boleh memberikan hasil tambah 6, iaitu apabila kedua-duanya menunjukkan nombor 3. Tetapi dalam kes kita, kesudahan ini tidak memenuhi syarat B: sekurang-kurangnya satu nombor lebih kecil daripada tiga. Oleh itu, kesudahan ini tidak dimasukkan ke dalam kesudahan yang menyebelahi peristiwa. Jadi, set kesudahan yang menyebelahi peristiwa ialah A ∩ B, iaitu persilangan kedua-dua peristiwa. Apabila semuanya digabungkan, kita memperoleh rumus:

$$P(A|B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}.$$

Daripada rumus ini kita dapat melihat sebab kita mengandaikan P(B) ≠ 0. Jika syarat ini tidak dipenuhi, kita akan membahagi dengan sifar, dan hal itu mungkin mencipta lubang hitam.

Rumus di atas benar apabila kita menggunakan takrif klasik kebarangkalian, iaitu apabila semua kesudahan asas mempunyai kebarangkalian yang sama untuk berlaku. Rumus ini boleh ditulis dalam bentuk yang lebih am:

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

Contoh soalan dan penyelesaian

1. Dua biji dadu, satu hitam dan satu putih, dilambung. Berapakah kebarangkalian dadu putih menunjukkan nombor 4 jika hasil tambah kedua-dua nombor ialah tujuh? Kita tulis: peristiwa A: “dadu putih menunjukkan nombor 4”, peristiwa B (syarat): “hasil tambah ialah tujuh”. Peristiwa B mengandungi semua pasangan nombor yang hasil tambahnya 7, iaitu B = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}. Sekarang kita tentukan A ∩ B: pasangan manakah dalam B yang juga berada dalam A, iaitu dadu putihnya menunjukkan nombor 4? Andaikan nombor ditulis dalam bentuk (hitam, putih), maka satu-satunya pasangan dalam A ∩ B ialah (3, 4). Sekarang kita hanya perlu menggantikan ke dalam rumus:

$$P(A|B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}=\frac{1}{6}.$$