Xác suất có điều kiện

Khi tính xác suất, ta có thể đặt thêm cho phép thử ngẫu nhiên một điều kiện bổ sung. Bài toán điển hình về xác suất có điều kiện có thể là: gieo 3 con xúc xắc. Biết rằng một trong các con xúc xắc xuất hiện mặt 3 chấm, tính xác suất để tổng số chấm bằng 7.

Xây dựng công thức

Xét một phép thử ngẫu nhiên (chẳng hạn gieo xúc xắc) và hai biến cố khác nhau A và B sao cho P(B) ≠ 0, tức là B không phải là biến cố không thể. Khi đó, nếu ta hỏi xác suất của biến cố A là bao nhiêu khi biến cố B đã xảy ra, ta nói về xác suất có điều kiện. Kí hiệu là P(A|B).

Ta sẽ từng bước đi đến công thức tính xác suất có điều kiện. Để đơn giản, hãy hình dung một con xúc xắc tứ diện đều, tức là con xúc xắc chỉ có thể xuất hiện các số 1, 2, 3 hoặc 4. Ta thử giải bài toán: gieo 2 con xúc xắc tứ diện đều; biết rằng ít nhất một con xuất hiện số nhỏ hơn 3, tính xác suất để tổng hai số bằng 6.

Trước hết ta liệt kê tất cả các khả năng có thể nhận được với 2 con xúc xắc tứ diện đều. Có tất cả 4 · 4 = 16 khả năng.

$$\begin{array}{rcl}& & (1;1),(1;2),(1;3),(1;4),\\ & & (2;1),(2;2),(2;3),(2;4),\\ & & (3;1),(3;2),(3;3),(3;4),\\ & & (4;1),(4;2),(4;3),(4;4)\end{array}$$

Các biến cố A và B là gì? Biến cố A là: “tổng hai số trên xúc xắc bằng 6”, còn biến cố B là: “ít nhất một con xúc xắc xuất hiện số nhỏ hơn 3”. Ta quan tâm đến xác suất có điều kiện P(A|B): xác suất để biến cố A xảy ra khi biết biến cố B đã xảy ra. Trước hết, từ bảng trên ta chỉ giữ lại những cặp thuộc biến cố B, tức là có ít nhất một số trong cặp nhỏ hơn 3. Ta được:

$$\begin{array}{rcl}& B=& (1;1),(1;2),(1;3),(1;4),\\ & & (2;1),(2;2),(2;3),(2;4),\\ & & (3;1),(3;2),\\ & & (4;1),(4;2)\end{array}$$

Về thực chất, có thể coi đây là tập hợp tất cả các kết quả có thể. Trên thực tế hai con xúc xắc vẫn có thể cùng xuất hiện số 4, nhưng với điều kiện bổ sung B, ta nói rằng kết quả đó không được xét: ta chỉ quan tâm đến những kết quả mà ít nhất một con xúc xắc xuất hiện số nhỏ hơn 3.

Bây giờ chỉ còn hỏi: xác suất để biến cố A xảy ra là bao nhiêu, nếu tập hợp tất cả các kết quả là tập hợp B? Xác suất có điều kiện chỉ nói đúng điều đó. Vậy trong tập hợp B ta tìm những cặp có tổng bằng 6:

$$(2;4),(4;2)$$

Bây giờ tính xác suất thế nào? Có tất cả 2 kết quả thuận lợi, còn số tất cả các kết quả bằng số phần tử của tập hợp B, tức là 12. Vậy xác suất có điều kiện bằng

$$P(A|B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$$

Vấn đề bây giờ là tổng quát hoá. Ta đã nói rằng có thể coi tập hợp B là tập hợp tất cả các kết quả có thể. Khi đó tập hợp các kết quả thuận lợi là gì? Đó là tập hợp những kết quả thuộc A (biến cố ta quan tâm) và đồng thời thuộc B (điều kiện giới hạn). Nói cách khác: còn một khả năng nữa để 2 con xúc xắc tứ diện đều có tổng bằng 6, đó là khi cả hai đều xuất hiện số 3. Nhưng trong trường hợp này kết quả đó không thoả mãn điều kiện B: ít nhất một số nhỏ hơn 3. Vì vậy ta không tính kết quả này vào các kết quả thuận lợi. Như vậy tập hợp các kết quả thuận lợi là A ∩ B, giao của hai biến cố. Ghép tất cả lại, ta được công thức:

$$P(A|B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}.$$

Từ công thức có thể thấy vì sao ta giả thiết P(B) ≠ 0: nếu điều kiện này không thoả mãn thì ta sẽ chia cho 0, và khi đó có khi tạo ra cả một hố đen.

Công thức trên đúng khi ta xét định nghĩa cổ điển của xác suất, khi mọi kết quả đều đồng khả năng. Có thể viết lại công thức dưới dạng tổng quát hơn:

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

Ví dụ có lời giải

1. Gieo 2 con xúc xắc, một con đen và một con trắng. Biết rằng tổng số chấm của hai con bằng 7, tính xác suất để con trắng xuất hiện mặt 4 chấm. Ta viết ra: biến cố A: “con trắng xuất hiện mặt 4 chấm”, biến cố B (điều kiện): “tổng số chấm bằng 7”. Biến cố B gồm tất cả các cặp số có tổng bằng 7, tức là B = {(1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1)}. Bây giờ ta xác định A ∩ B, tức là những cặp nào trong B đồng thời thuộc A, hay nói cách khác con trắng xuất hiện mặt 4 chấm? Giả sử các cặp có dạng (đen; trắng), khi đó cặp duy nhất thuộc A ∩ B là (3; 4). Chỉ còn thay vào công thức:

$$P(A|B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}=\frac{1}{6}.$$