Peristiwa pelengkap

Peristiwa pelengkap kadangkala berguna apabila kita mengira kebarangkalian suatu peristiwa. Peristiwa pelengkap bagi peristiwa A ialah peristiwa A', yang mengandungi semua kesudahan yang mungkin berlaku tetapi tiada dalam peristiwa A.

Takrif

Takrif eksperimen rawak dan peristiwa terdapat dalam bab kebarangkalian. Ulang kaji ringkas: eksperimen rawak ialah, contohnya, lambungan dadu. Set semua kesudahan mengandungi kesudahan yang mungkin berlaku, iaitu bagi lambungan dadu, set ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Peristiwa ialah subset bagi ω, contohnya “dadu menunjukkan nombor ganjil”, iaitu A = {1, 3, 5}.

Jika kita mempunyai peristiwa A, misalnya “dadu menunjukkan nombor ganjil”, iaitu A = {1, 3, 5}, maka peristiwa pelengkap ialah peristiwa A' = ω ∖ A. Peristiwa ini terdiri daripada semua kesudahan yang lain, iaitu kesudahan yang terdapat dalam ω tetapi tiada dalam A. Dalam kes peristiwa “dadu menunjukkan nombor ganjil”, peristiwa pelengkapnya ialah “dadu menunjukkan nombor genap”. Peristiwa pelengkap bagi “dadu menunjukkan nombor 2 atau 5” ialah “dadu menunjukkan nombor 1, 3, 4 atau 6”.

Dalam bahasa set, jika ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan kita mempunyai peristiwa A = {1, 2} (“dadu menunjukkan nombor yang lebih kecil daripada tiga”), maka A' = ω ∖ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∖ {1, 2} = {3, 4, 5, 6}. Dalam bentuk ayat, peristiwa ini ialah “dadu menunjukkan nombor yang lebih besar daripada dua”.

Kebarangkalian peristiwa pelengkap mematuhi hubungan yang mudah. Jika kebarangkalian peristiwa A ialah 25%, berapakah kebarangkalian peristiwa A'? Sebenarnya kita bertanya: berapakah kebarangkalian peristiwa A tidak berlaku? Peristiwa A berlaku dengan kebarangkalian 25%, jadi peristiwa A tidak berlaku dengan kebarangkalian 100 − 25 = 75%. Hal ini sentiasa benar, jadi kita boleh mengatakan bahawa peristiwa pelengkap A' berlaku dengan kebarangkalian 1 − P(A):

$$P(A^{\prime })=1-P(A)$$

Contoh soalan dan penyelesaian

1. Berapakah kebarangkalian tidak mendapat dua nombor 6 apabila dua biji dadu dilambung? Dalam bab kebarangkalian, kita telah mengira bahawa terdapat 36 kesudahan berbeza apabila dua biji dadu dilambung. Sekarang kita perlu mengira berapa banyak kesudahan ini yang tidak mengandungi dua nombor 6. Kita boleh mengambil jalan yang bertentangan: kita kira berapa banyak pasangan yang mengandungi dua nombor 6, hitung kebarangkalian peristiwa ini, kemudian tolak kebarangkalian itu daripada satu.

   Hanya ada satu pasangan yang mengandungi dua nombor 6, iaitu (6, 6), jadi kebarangkalian peristiwa A ini ialah:

   $$P(A)=\frac{1}{36}$$

   Kebarangkalian peristiwa pelengkap A', iaitu peristiwa “tidak mendapat dua nombor 6”, ialah:

   $$P(A^{\prime })=1-P(A)=1-\frac{1}{36}=\frac{35}{36}=97.2222\dots \mathrm{\%}$$

2. Berapakah kebarangkalian mendapat sekurang-kurangnya satu nombor 6 apabila tiga biji dadu dilambung? Soalan ini juga boleh diselesaikan secara langsung dengan menyenaraikan semua susunan yang mengandungi satu, dua dan tiga nombor 6. Tetapi kita boleh mengambil jalan lain dan mengira peristiwa pelengkap, iaitu peristiwa “tiada nombor 6 langsung”. Mula-mula kita kira jumlah semua kesudahan yang mungkin. Terdapat tiga biji dadu, dan setiap dadu boleh menunjukkan nombor 1 hingga 6, jadi terdapat 6³ = 216 kesudahan kesemuanya.

   Sekarang kita perlu mengira kesudahan yang tidak mengandungi sebarang nombor 6. Setiap dadu mesti menunjukkan nombor 1 hingga 5, jadi terdapat 5³ = 125 kesudahan yang tidak mengandungi nombor 6. Gantikan ke dalam rumus:

   $$P(A)=\frac{125}{216}=57.87\mathrm{\%}$$

   Ini ialah peristiwa A, iaitu “tiada nombor 6 langsung”. Kita mahu mengetahui peristiwa pelengkap: “sekurang-kurangnya satu nombor 6”. Gantikan ke dalam rumus:

   $$P(A^{\prime })=1-P(A)=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}=42.1296\mathrm{\%}$$

3. Dalam satu ujian matematik, seorang pelajar mencabut 3 soalan daripada 30 soalan yang disediakan. Daripada jumlah itu, 10 soalan ialah soalan algebra, 15 soalan analisis dan 5 soalan geometri. Berapakah kebarangkalian dia mencabut sekurang-kurangnya dua soalan daripada bidang yang sama? Sekali lagi, lebih mudah untuk menyelesaikan soalan ini dengan peristiwa pelengkap, iaitu: berapakah kebarangkalian pelajar itu mencabut tepat satu soalan daripada setiap bidang?

   Mula-mula kita kira berapa banyak tigaan berbeza yang boleh dicabut oleh pelajar itu. Untuk itu kita memerlukan gabungan. Terdapat 30 soalan kesemuanya dan 3 soalan dicabut, tanpa mengira susunan. Hal ini memberikan pekali binomial

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{3})=4060$$

   Seterusnya, berapa banyak kemungkinan pelajar itu mencabut tepat satu soalan daripada setiap bidang? Dengan petua pendaraban, kita dapati jumlahnya ialah 10 · 15 · 5 = 750. Akhir sekali, kita gantikan ke dalam rumus kebarangkalian:

   $$P(A)=\frac{750}{4060}=18.47\mathrm{\%}$$

   Tetapi kita mahu mengetahui peristiwa pelengkap, jadi kita hanya perlu menolak hasil ini daripada satu:

   $$P(A^{\prime })=1-\frac{750}{4060}=\frac{3310}{4060}=81.53\mathrm{\%}$$